概率论与数理统计期末
置信区间问题
八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设零件长度X服从正态分布N (μ,1)。求μ的置信度为0.95的置信区间。
(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )
解：由于零件的长度服从正态分布,所以U?x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95
?/n所以?的置信区间为(x?u0.025?n,x?u0.025?n) 经计算 x?19?xi?19i?6
1 ?的置信度为0.95的置信区间为 (6?1.96?1 即(5.347，6.653) 3,6?1.96?3)
八（2）、某车间生产滚珠，其直径X ～N (?, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）：
14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7
若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径?的置信度为0.95的置信区间。
(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )
解：由于滚珠的直径X服从正态分布,所以U?x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95
?/n所以?的置信区间为：(x?u0.025?n,x?u0.025?n) 经计算 x?19?xi?19i?14.911
?的置信度为0.95的置信区间为 (14.911?1.96?0.053,14.911?1.96?0.053) 即(14.765，15.057)
2八（3）、工厂生产一种零件,其口径X(单位:毫米)服从正态分布N(?,?),现从某日生产的零件中随机抽出9个,分别测得其口径如下:
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14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7
已知零件口径X的标准差??0.15，求?的置信度为0.95的置信区间。
(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )
解：由于零件的口径服从正态分布,所以U?x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95
?/n所以?的置信区间为：(x?u0.025?n,x?u0.025?n) 经计算 x?19?xi?19i?14.9
0.15 ? 的置信度为0.95的置信区间为 (14.9?1.96?0.15 即(14.802 ,14.998) 3,14.9?1.96?3)
八（4）、随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差?的置信度为0.95的置信区间。
2
(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)
因为炮口速度服从正态分布，所以
W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95
?(n?1)S2(n?1)S2??的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1???
0.975?0.025?2
?8?98?9??2的置信度0.95的置信区间为 ?,? 即?4.106,33.028?
17.5352.180??八（5）、设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9名女生，测得数据经计算如下：
x?162.67cm, s?4.20cm。求该校女生身高方差?2的置信度为0.95的置信区间。
(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)
解：因为学生身高服从正态分布，所以W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95
?(n?1)S2?8?4.228?4.22?(n?1)S2?2
?的置信区间为：????2?n?1?,?2?n?1??? 的置信度0.95的置信区间为 ?17.535,2.180?
0.975???0.025?2
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即?8.048,64.734?
八（6）、一批螺丝钉中,随机抽取9个, 测得数据经计算如下：x?16.10cm, s?2.10cm。设螺丝钉的长度服从正态分布，试求该批螺丝钉长度方差?的置信度为0.95的置信区间。
2(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)
解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以
W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95
?(n?1)S2(n?1)S2??的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1???
0.975?0.025?2
?8?2.1028?2.102??的置信度0.95的置信区间为 ?,? 即?2.012,16.183?
17.5352.180??2
八（7）、从水平锻造机的一大批产品随机地抽取20件，测得其尺寸 的平均值x?32.58，样本方差
S2?0.097。假定该产品的尺寸X服从正态分布N(?,?2),其中?2与?均未知。求?2的置信度为0.95的
置信区间。
(已知：?0.0252(20)?34.17, ?0.9752(20)?9.591；?0.0252(19)?32.852, ?0.9752(19)?8.907)解：由于该产
品的尺寸服从正态分布，所以
W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(19)?W??0.9752(19)}?0.95
?(n?1)S2(n?1)S2??的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1???
0.975?0.025?2
?19?0.09719?0.097??2的置信度0.95的置信区间为 ?,? 即?0.056,0.207?
32.8528.907??
八（8）、已知某批铜丝的抗拉强度X服从正态分布N(?,?)。从中随机抽取9根，经计算得其标准差为8.069。
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求?的置信度为0.95的置信区间。
2222（已知：?0.025(9)?19.023, ?0.975(9)?2.7，?0.025(8)?17.535, ?0.975(8)?2.180）
2解：由于抗拉强度服从正态分布所以，
W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95
(n?1)S2(n?1)S2?的置信区间为：(2,2)
?0.025?n?1??0.975?n?1?2?8?8.06928?8.0692??的置信度为0.95的置信区间为?,? ，即 ?29.705,238.931?
17.5352.180??2
2八（9）、设总体X ～N(?,?)，从中抽取容量为16的一个样本，样本方差S?0.07，试求总体方差的置
2信度为0.95的置信区间。
(已知：?0.0252(16)?28.845, ?0.9752(16)?6.908；?0.0252(15)?27.488, ?0.9752(15)?6.262)解：由于 X～
N??,?2?，所以W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(15)?W??0.9752(15)}?0.95
(n?1)S2(n?1)S2?的置信区间为：(2,2)
?0.025?n?1??0.975n?1??2
?15?0.0715?0.07??2的置信度0.95的置信区间为 ?,?，即?0.038,0.168?
6.262??27.488
2八（10）、某岩石密度的测量误差X服从正态分布N(?,?)，取样本观测值16个，得样本方差S?0.04，
2试求?的置信度为95%的置信区间。
2
(已知：?0.0252(16)?28.845, ?0.9752(16)?6.908；?0.0252(15)?27.488, ?0.9752(15)?6.262)解：由于 X ~
N??,?2?，所以W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(15)?W??0.9752(15)}?0.95
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(n?1)S2(n?1)S2 ?的置信区间为：(2,2)
?0.025?n?1??0.975?n?1?2
?的置信度0.95的置信区间为：?2
?15?0.0415?0.04?,? 即?0.022,0.096?
27.4886.262??拒绝域问题
九（1）、某厂生产铜丝，生产一向稳定,现从其产品中随机抽取10段检查其折断力，测得
x?287.5, ?(xi?x)2?160.5。假定铜丝的折断力服从正态分布，问在显著水平??0.1下，是否可以
i?110相信该厂生产的铜丝折断力的方差为16？
(已知：?0.052(10)?18.31, ?0.952(10)?3.94; ?0.052(9)?16.9, ?0.952(9)?3.33)
解：待检验的假设是 H0:??16 选择统计量 W?2(n?1)S2?2 在H0成立时 W~?2(9)
P{?20.05(9)?W??20.95(9)}?0.90
取拒绝域w ={W?16.92,W?3.33}
2由样本数据知(n?1)S?160.5 W?160.5?10.03 16.92?10.03?3.33 16 接受H0，即可相信这批铜丝折断力的方差为16。
九（2）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为0.0375。试问在显著水平??0.05下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异?
(已知：?0.0252(10)?20.48, ?0.9752(10)?3.25, ?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)
解：待检验的假设是 H0:??0.03 选择统计量 W?2(n?1)S2?2 在H0成立时 W~?2(9)
P{?20.025(9)?W??20.975(9)}?0.95
取拒绝域w ={W?19.023,W?2.700}
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