第五章 特征值与特征向量
一、单项选择题 ?1?1．设矩阵A=?00?0?120011301?1?，则A的线性无关的特征向量的个数是（ ） 1?3??A．1 B．2
C．3 D．4 2．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（ ） A．C．
1α 31α 9B．D．
1α 51α 25?20???3．若2阶矩阵A相似于矩阵B=??，E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是
?2?3???（ ）
?10???A．??
?14?????10???C．??
??24?????10???B．??
?1?4?????10???D．??
??2?4???4.下列矩阵是正交矩阵的是（ ） 0??10?0?10A.???
??00?1???101?1??110B.?2???011??
?cos?C.???sin??sin??
cos???????D.?????2202216661063??3?3??
3??3??3??5．已知3阶矩阵A的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ）
A．A B．E?A C．?E?A D．2E?A ?4?52???6.设矩阵A=?5?73?，则以下向量中是A的特征向量的是（ ）
??6?94??第五章 特征值与特征向量 1
A.（1，1，1）T C.（1，1，0）T B.（1，1，3）T D.（1，0，-3）T
3 =
?1?11??13?17.设矩阵A=???的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ
（ ）
??111??A.4
B.5 C.6 D.7
8.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ ） A.AT B.A2 C.A-1
D.A*
9.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=( ) A.0 B.2 C.3
D.24
10.若A、B相似，则下列说法错误．．的是( ) A.A与B等价 B.A与B合同
C.| A |=| B |
D.A与B有相同特征值
11.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=( ) A.-2 B.0 C.2 D.4
二、填空题
1．已知3阶方阵A的特征值为1，-3，9，则
13A?_________. 2．已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（0，1，y）正交，则y=_________.
3.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为?T1=(1，1),
?2=(1，k)T，则数k=_____________________. 4.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则|B+E|=_________. 5.向量??(3,2,t,1),??(t,?1,2,1)正交,则t?_____________。 6.若矩阵A=??10??04?与矩阵B=???3b??ax?相似，则x=_____________。 ?7．已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=______. 8．已知向量α?(3,k,2)T与β?(1,1,k)T正交，则数k?______.
9.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________. 10.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.
第五章 特征值与特征向量 2
?1?11.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵?A2?必有一个特征值为_____________.
?3??1???1?2?2???12.设矩阵A=??2x0?的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.
??????200?????a??113.已知A=??2??0???0?2??b0?是正交矩阵，则a+b=_______________________________。
??01???114.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，
1，1，则| 5A-1 |=______________. 2?1???15.设α=?2?，则A=ααT的非零特征值是_______________.
?3???
三、计算题
?100?1．设矩阵A=?021?，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.
?012????201?????2. 设矩阵B=?313?，
??????405??（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；
（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵?和可逆矩阵P，使P-1BP=? ?1?6?3??0?5?33.设矩阵A=???，求矩阵A的全部特征值和特征向量。
?4??06??12??50?TT??,B?4．设矩阵A???43??2?1??，存在?1?(1,2),?2?(?1,1)，使得A?1?5?1, ????A?2???2；存在?1?(3,1)T,?2?(0,1)T,使得B?1?5?1,B?2???2.试求可逆矩阵P，
使得P?1AP?B.
第五章 特征值与特征向量 3
?32?2??-1
0?105.设矩阵A=?，求可逆方阵P，使PAP为对角矩阵. ????42?3????2?6.设矩阵A=?0???0???1?P-1AP=?0???0?02003a?0??a?的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使??3???0??0? ??5??? 2 ?1 2???7.已知A=? 5 a 3?的一个特征向量ξ=（1,1，-1）T，求a，b及ξ所对应的特征值，并
??1 b ?2???写出对应于这个特征值的全部特征向量.
四、证明题
1. 已知A是n阶矩阵，且满足方程A2+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.
第五章 特征值与特征向量 4