12.12
12．13 一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去
R 一块半径为R` R` 的小球体，如图所 O a O` 示，试求两球心O与O`处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均图13.10 强电场． [解答]挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加． 对于一个半径为R，电荷体密度为ρ的球体来说，当场点P在球内时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程 体在O`点产生的场强为零，大球在O点产生的场强大小为 EO`??a， 3?0方向也由O指向O`． [证明]在小球内任一点P，大球和小球产生的场强大小分别为 Er θ P E ?r ， Er?rr` Er` O a O` 3?0Er`?? r`， 3?0方向如图所示． 设两场强之间的夹角为θ，合场强的平方为 E2?Er2?Er`2?2ErEr`cos? E4?r2?P点场强大小为 143?r? ?03?(?22)(r?r`2?2rr`cos?)， 3?0?E?r． 3?0当场点P在球外时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程 根据余弦定理得 2 a2?r2?r`?2rr`co?s?(?， )所以 E??a， 3?014E4?r??R3? ?032P点场强大小为 ?R3． E?23?0rO点在大球体中心、小球体之外．大球体在O点产生的场强为零，小球在O点产生的场强大小为 ?R`3， EO?23?0a方向由O指向O`． O`点在小球体中心、大球体之内．小球 5 可见：空腔内任意点的电场是一个常量．还可以证明：场强的方向沿着O到O`的方向．因此空腔内的电场为匀强电场． 12．14 如图所示，在A、B两点处放有电量分别为+q和-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一 D 正试验电荷q 0 A O B 从O点经过半圆 -q +q C 弧路径移到C 图13.11 点，求移动过程 中电场力所做的功． [解答]正负电荷在O点的电势的和为零： UO = 0； 在C点产生的电势为 UC?q4??03R??q4??0R??q6??0R， 12．17 电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，试证明离球心r（r 电场力将正电荷q 0从O移到C所做的功为 W = q0UOD = q0(UO-UD) = q0q/6πε0R． 12．15 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和B．A平面的电荷面密度为2σ，B平面的电荷面密度为σ，两面间的距离为d．当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为多少？ [解答]两平面产生的电场强度大小分别为 EA = 2σ/2ε0 = σ/ε0，EB = σ/2ε0， 两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E = EA - EB = σ/2ε0， 方向由A平面指向B平面． 两平面间的电势差为 U = Ed = σd/2ε0， 当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为 W = qU = qσd/2ε0． 12．16 一半径为R的均匀带电球面，带电量为Q．若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？ [解答]带电球面在外部产生的场强为 Q(3R2?r2)． U?38??0R[证明]球的体积为V?电荷的体密度为 ??4?R3， 3Q3Q． ?V4?R3利用13．10题的方法可求球内外的电场强度大小为 E??Q（r≦R）； r?r， 3?04??0R3Q4??0r2E?，（r≧R）． 取无穷远处的电势为零，则r处的电势为 ?R?U??E?dl??Edr??Edr rrRR??rQ4??0RQ?rdr??3R2rQ24??r0Rdr ?8??0RQ8??0R3r??Q4??0r? RE?由于 Q4??0r2， ??(R2?r2)?3Q4??0R ? UR?U??E?dl?Edr RR??Q(3R2?r2)． ?38??0R 12．18 在y = -b和y = b两个“无限大”平面间均匀充满电荷，电荷体密度为ρ，其他地方无电荷． （1）求此带电系统的电场分布，画E-y图； （2）以y = 0作为零电势面，求电势分布，画E-y图． ?Q??dr?4??0r24??0rR?Q4??0R， ?Q? R当UR = 0时，U??? Q4??0R． 6 [解答]平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`，但方向相反． （1）在板内取一底面 E` E 积为S，高为 S0 2y的圆柱面S2 S1 b -b o 作为高斯面， y 场强与上下两S2 S0 表面的法线方 E` E 向平等而与侧S1 b b 面垂直，通过高斯面的电通量为 U???E?dl???nqb?0dy??nqb?0 y?C， 在y = b处U = -ρb2/2ε0，所以C = ρb2/2ε0， 因此电势为 ?b?b2，(b≦y)． U??y??02?0当y≦-b时，电势为 ?b?bU???E?dl??dy?y?C， ?0?0在y = -b处U = -ρb2/2ε0，所以C = ρd2/2ε0，因此电势为 ?e??E?dS S?b?b2， U?y??02?0两个公式综合得 ??E?dS??E?dS??E?dS?2ES． S1S2S0高斯面内的体积为 V = 2yS， 包含的电量为 q = ρV = 2ρSy， 根据高斯定理 Φe = q/ε0， 可得场强为 E = ρy/ε0， (-b≦y≦b)． 穿过平板作一底面积为S，高为2y的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为地 Φe = 2ES， 高斯面在板内的体积为 V = S2b， 包含的电量为 q = ρV = ρS2b， 根据高斯定理 Φe = q/ε0， 可得场强为 E = ρb/ε0， (b≦y)； E = -ρb/ε0， (y≦-b )． E-y图如左图所示． （2）对于平面之间的点，电势为 ?b?b2，(|y|≧d)． U??|y|??02?0这是两条直线． U-y图如右图所示．U-y图的斜率就形成E-y图，在y = ±b点，电场强度是连续的，因此，在U-y图中两条直线与抛物线在y = ±b点相切． E o b y U -b o b y -b [注意]根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积分之后加一个积分常量．根据其他关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加一个负号，即 U???E?dl????ydy ?0?y2???C， 2?0在y = 0处U = 0，所以C = 0，因此电势为 U???E?dl 这是因为积分的起点位置是积分下限． 12．19 两块“无限大”平行带电板如图所示，A板带正电，B板带负电并接地（地的电势为零），设A和B两 A B 板相隔5.0cm，板上各带电 荷σ=3.3×10-6C·m-2，求： P （1）在两板之间离A 图13.16 ?y2，(-b≦y≦b)． U??2?0这是一条开口向下的抛物线． 当y≧b时，电势为 7 板1.0cm处P点的电势； （2）A板的电势． [解答]两板之间的电场强度为 E=σ/ε0， 方向从A指向B． 以B板为原点建立 A B 坐标系，则rB = 0，rP = o r -0.04m，rA = -0.05m． P （1）P点和B板间的电势差为 rBrB总电势为 ?LdlU1? ?4??0?Lr?l???ln(r?l)4??0L l??L?q8??0Llnr?L． r?LUP?UB??E?dl??Edr rPrP??(rB?rP)， ?0由于UB = 0，所以P点的电势为 3.3?10?64 =1.493×10(V)． UP??0.04?128.84?10（2）同理可得A板的电势为 （2）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为 -L dq = λdl， 在线的垂直平分线上的P2点产生的电势为 dU2?积分得 y P2 r o θ ldl L x ?dl， 221/24??0(r?l)?UA?(rB?rA)=1.866×104(V)． ?0 12．20 电量q均匀分布在长为2L的细直线上，试求： （1）带电直线延长线上离中点为r处的电势； （2）带电直线中垂线上离中点为r处的电势； （3）由电势梯度算出上述两点的场强． [解答]电荷的线密度为λ = q/2L． （1）建 y 立坐标系，在r 细线上取一 o l dl L P1 x 线元dl，所带-L 的电量为 dq = λdl， 根据点电荷的电势公式，它在P1点产生的电势为 dU1??U2?4??01dl 221/2?(r?l)?LLL??ln(r2?l2?l)4??0?q8??0Lq4??0L l??Llnr2?L2?Lr?L?L22 ?lnr2?L2?L． r（3）P1点的场强大小为 E1???U1 ?r?11?) 8??0Lr?Lr?L(1， ① 224??0r?Lqq1?dl? 4??0r?l方向沿着x轴正向． 8 P2点的场强为 在球心处产生的电势为 E2???U2 ?rdUO?dq4??0r??1r[?] 22224??0Lrr?L(r?L?L)q?rdr， ?0球心处的总电势为 ?q4??0r1r2?L2， ② ?UO??0R2R1?rdr??2(R2?R12)， 2?0方向沿着y轴正向． [讨论]习题13．3的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为 E1?2L?， 224??0x?L1由于2Lλ = q，取x = r，就得公式①． （2）习题13．3的解答还计算了中 垂线上的场强为 这就是A点的电势UA． 过B点作一球面，B的点电势是球R2 O 面外的电荷和球面B R1 rB 内的电荷共同产生 的． 球面外的电荷 在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得 Ey?12L?24??0d2d2?L2 U1??2(R2?rB2)． 2?0取d2 = r，可得公式②． 由此可见，电场强度可用场强叠加原理计算，也可以用电势的关系计算． 12．21 如图所 R2 示，一个均匀带电，内、外半径分别为B rB O R 1R1和R2的均匀带电rA A 球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算： 图13.18 （1）A，B两点的电势； （2）利用电势梯度求A，B两点的场强． [解答]（1）A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A点的电势就等于球心O点的电势． 在半径为r的球壳处取一厚度为dr的R2 O 薄壳，其体积为 R1 2 dV = 4πrdr， r 包含的电量为 dr 2 dq = ρdV = 4πρrdr， 9 球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生的电势．球壳在球面内的体积为 43V??(rB?R13)， 3包含的电量为 Q = ρV， 这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为 U2?Q4??0rB??3(rB?R13)． 3?0rBB点的电势为 UB = U1 + U2 R13?22?(3R2?rB?2)． 6?0rB（2）A点的场强为 EA???UA?0． ?rAB点的场强为 ?UBR13?EB???(rB?2)． ?rB3?0rB