习题8
8-1．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后
?6，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。
?6，?x?2m解：根据题意，对于A、B两点，????2??1?而???2??x???24m，u?，
?T??12m/s
8-2．已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为y?Acos(?t??)，波速为u，求：
（1）平面波的波动式；
（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何?
（t?解：（1）设平面波的波动式为y?Acos[?yP?Acos[?（t?x1uxu）??0]，则P点的振动式为：
）??0]，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较，
有：?0??x1u??，∴平面波的波动式为：y?Acos[?(t?x?x1u)??]；
（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：
y?Acos[?（t?yP?Acos[?（t?xux1u）??0]，则P点的振动式为：
）??0]，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较，
有：?0???x1u??，∴平面波的波动式为：y?Acos[?(t?x?x1u)??]。
8-3．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A点的振动规律为
y?Acos(?2?t??，试写出：)（1）该平面简谐波的表达式；
（2）B点的振动表达式（B点位于A点右方d处）。 解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O点为原点平面简谐波的表达式为：
y?Acos[2??（t?xu）??0]，则A点的振动式：
yA?Acos[2??（t??lu）??0]
2??lu??，
题设A点的振动式y?Acos(2??t??)比较，有：?0?∴该平面简谐波的表达式为：y?Acos[2??（t?lu?xu）??]
（2）B点的振动表达式可直接将坐标x?d?l，代入波动方程：
y?Acos[2??（t?lu?d?lu）??]?Acos[2??（t?du）??]
8-4．已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t?13s时的波形如图所示，且周期T为2s。
（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。
解：由图可知：A?0.1m，??0.4m，而T?2s，则：u??/T?0.2m/s，
2?2?????，k??5?，∴波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??0)
T?O点的振动方程可写成：yO?0.1cos(?t??0) 由图形可知：t?考虑到此时
dyOdt13s时：yO?0.05，有：0.05?0.1cos(?3??0)
?0，∴?0??3，
5?3（舍去）
?3)；
那么：（1）O点的振动表达式：yO?0.1cos(?t?（2）波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??3)；
（3）设A点的振动表达式为：yA?0.1cos(?t??A) 由图形可知：t?考虑到此时
dyAdt13s时：yA?0，有：cos(5?6?3??A)?0 7?6?0，∴?A??（或?A?）
∴A点的振动表达式：yA?0.1cos(?t?5?6)，或yA?0.1cos(?t?7?6)；
（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：
?yA?0.1cos(?t?5?xA?)，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：
3?t?5?6??t?5?xA??3，所以：xA?730?0.233m 。
8-5．一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：
（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；
（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 解：这是一个振动图像！
?3由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：yO?5?10cos(?t??0)。
（1）当t?0时，yO当t?1时，yOt?0?2.5?10?3，考虑到：
dyOdtt?0?0，有：?0???3，
t?1?0，考虑到：
dyOdt?3t?1?0，有：??t??3??2，??5?6，
∴原点的振动表达式：yO?5?10cos(5?6?3)；
?3（2）沿x轴负方向传播，设波动表达式：y?5?10而k??u?5?6?10.8?24?25?xcos(t?5?6t?kx?x??3)
，∴y?5?10?k?x?2524?3cos(5?624?25?3)；
（3）位相差：???2????3.27rad 。
8-6．一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为
9.0?10?3J/(s?m)，频率为300Hz，波速为300m/s。问波中的平均能量密度
和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？
?3解：（1）已知波的平均强度为：I?9.0?10J/(s?m)，由I?w?u 有： w?Iu?9.0?10300?3?3?10?5J/m
3wmax?2w?6?10?5J/m；
3（2）由W?w?V，∴W?w??3?10?514?d??w2214?d2u?
?7J/m?3?4?(0.14m)?1m?4.62?10J 。
8-7．一弹性波在媒质中传播的速度u?103m/s，振幅A?1.0?10?4m，频率
33（1）该波的平均能流密度；（2）??10Hz。若该媒质的密度为800kg/m，求：
1分钟内垂直通过面积S?4.0?10?4m2的总能量。 解：（1）由：I?I?12312u?A?，有：
?423222?10?800?（10）（2??10）?1.58?10W/m；
52（2）1分钟为60秒，通过面积S?4.0?10?4m2的总能量为：
5?43W?ISt?1.58?10?4?10?60?3.79?10J 。 8-8．右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为d?5?/4，S1与S2为左、S2质点的振动比S1超前?2，设S1的振动方程为y10?Acos2?Tt，且媒质无
吸收，（1）写出S1与S2之间的合成波动方程；（2）分别写出S1与S2左、右侧的合成波动方程。 解：（1）如图，以S1为原点，有振动方程： ??xy10?Acos2?TS1S2t，
则波源S1在右侧产生的行波方程为：y1?Acos(2?Tt?2??x)，
2?Tt?由于S2质点的振动比S1超前?2，∴S2的振动方程为y20?Acos(设以S1为原点，波源S2在其左侧产生的行波方程为： y2?Acos(2?T2?T?2)，
t?t?2??2?x??)，由于波源S2的坐标为5?/4，代入可得振动方程：
?5?4??)，与y20?Acos(2?Tt?y20?Acos(?2?)比较，有： ???2?。
∴y2?Acos(x)。
?T?可见，在S1与S2之间的任一点x处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，
Tt?t?2?2?x?2?)?Acos(2?2?合成波为：y?y1?y2?2Acos2??xcos2?Tt，为驻波；
（2）∵波源S1在左侧产生的行波方程为：y1'?Acos(2?Tt?2??x)，
t?2?x）；
与y2?Acos(2?Tt?2??x)叠加，有：y左?y1'?y2?2Acos（2?T2?T2?T2??（3）设波源S2在其右侧产生的行波方程为：y2'?Acos(代入波源S2的坐标为5?/4，可得振动方程：y20'?Acos(与y20'?y20?Acos(∴y2'?Acos(与y1?Acos(2?Tt?2?T2?t?t?t??2?5???4x??')，
??')，
?2)比较，有：?'?3?。
t?x)叠加，有：y右?y1?y2'?0。
T?表明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。
1?8-9．设S1与S2为两个相干波源，相距波长，S1比S2的位相超前。若两波
422??2?x?3?)?Acos(2?Tt?2??x??)。
在在S1、S2连线方向上的强度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的强度如何？ 解：（1）如图，S1、S2连线上在S1外侧， ∵????2??1?2??2?∴两波反相，合成波强度为0；
（2）如图，S1、S2连线上在S2外侧，
(r2?r1)????2???4????， S1?S2?r1r2∵????2??1?2??2∴两波同相，合成波的振幅为2A，
(r2'?r1')????2??(??4)?0，
S1?S2r1'?r'?2