2010年秋研究生数值分析期末考试试题答案
一、单选题（4*5=20分）1、D; 2、B； 3、D； 4、B； 5、D。
?3??2??3二、填空题（4*5=20）1、4； 2、
?0??3?2?*??3???0?2??3?； 2??3?2xk?2?333、[f(?)?f(0)?f()]；4、xk?1?xk?；5、9.605。
3222xk三、（10分）由两点三次Hermite插值多项式公式秋得：
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（4分） H3(x)?x2(2?x)，设所求多项式P(x)?H3(x)?Ax2(x?1)2，由P(2)=1,得A=1/4,。。。。。。。。。（4分） 故P(x)?12x(x?3)2。.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分） 400??1u1?l1???四、（10分）设A???1l20?*?01?0?1l??003???0??u2?，由追赶法公式求得， 1??。。。。（4分） l1?4,u1??1/4,l2?15/4,u2??4/15,l3?56/15，由Ly=d,求得y?(0.25,0.87,0.77)T,（3分） 由Ux=y,求得，x?(0.7679 ,1.0714,0.5179)T（3分）
(k)(k)?x1(k?1)?4?2x2?x3?(k?1)(k)五、（10分）Jacobi迭代计算格式：?x2?(7?2x1(k)?3x3。。。。。。。。。。。。。。。（2分） )/5。
?(k?1)(k)(k)x?(?1?2x?2x)/3312?(k)(k)?x1(k?1)?4?2x2?x3?(k?1)(k)G-S迭代计算格式： ?x2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分） ?(7?2x1(k?1)?3x3)/5。
?(k?1)(k?1)?(?1?2x1(k?1)?2x2)/3?x3由于del(?I?BJ)?15?3?4??16?0,?(BJ)?16。。。。。。。。。。（2分） ?1,即Jacobi迭代发散；
1525?1,即G-S迭代收敛；。。。。。。。。。。。。。。。（2分）
由于del(?I?BG)??(15??12)?0,?(BG)?2(k)(k)?x1(k?1)?(1?w)x1(k)?w(4?2x2?x3)?(k?1)2(k)(k)?(1?w)x2?w(7?2x1(k?1)?3x3)/5由于wopt?SOR迭代格式：?x2，而
21?1??(BJ)?(k?1)(k)(k?1)(k?1)x?(1?w)x?w(?1?2x?2x)/3312?3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分） ?(BJ)?1，所以最佳松弛因子w不存在。
1
六、（10分）设f(x)?a?,f?(x)?a?xk?1?xk?1xk1x1，于是Newton迭代为：.。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分） x21xk。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（4分） ?xk(2?axk)，
由于x?*1是f(x)=0的单根，故为平方收敛。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分） a七、（10分）取P3(x)?(5x3?3x)/2?0的零点，x0??构造公式：
33。。。。。。。（3分） ,x1?0,x2?55?1?1f(x)dx?A0f(?33。。。。。。。。。。（2分） )?A1f(0)?A2f()，具有5次代数精度。
55??A0?A1?A2?2?令f(x)?1,x,x2，可得：?A*(?3)?A*0?A*3?0，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）
?01255??332?A0*?A1*0?A2*?553?求得：A0?585,A1?,A2?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分） 999八、（10
?3?xn]?yp?yn?h*[?100yn?xn?3分）改进的Euler公式计算格式为：?。。（3分） ?yc?yn?h*[?100yp?xn?1?xn?1]。
??yn?1?1(yp?yc)?2?h?y?y?(K1?2K2?2K3?K4)n?1n?6?3?K1??100yn?xn?xnhh3h。4阶RK公式的计算格式为：?。。。。。。。。。。。。。（3分） ?K??100(y?K)?(x?)?(x?)?2n1nn222?hh3h?K??100(y?K)?(x?)?(x?)n2nn?3222?3??K4??100(yn?hK3)?(xn?h)?(xn?h)
依题，???100由于Euler方法稳定域为：?2???h?0; 因此当步长满足：0?h??0.02时计算稳定。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分） 而4阶RK方法稳定域为：?2.785???h?0， 因此当步长满足：0?h??0.02785时计算稳定。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2分）
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