2. 二元一次不定方程解法新论
二元一次不定方程的一般形式是ax + by = c，ab≠0。因不定方程有无穷多解，而实际问题中常要考虑它的整数解或正整数解。本文中出现的a、b、c、d、……，x、y、z、t、……等字母都表示整数，Z表示整数集合，（a，b）与[a，b]分别表示a和b的最大公约数和最小公倍数。
定理一：二元一次不定方程ax + by = c有整数解?（a，b）| c。
其证明见中等师范学校《代数与初等函数》第二册p81—83。其他谈及二元一次不定方程的书籍都有证明，这里从略。
利用定理一，可以判断所给的二元一次不定方程ax + by = c是否有整数解。在有解的情况下，我们不妨假定a、b、c都是正整数，且（a，b）=1。
定理二：若正整数a、b、c、d满足：ab = cd且（b，c）=1，那么一定有：??a?ct (t?Z)。
?d?bt证明：∵（b，c）=1，故存在整数m与n使得：mb + nc = 1成立，从而：
?mba?nca?a?mcd?nca?a?c(md?na)?a ??????mbd?ncd?dmbd?nab?db(md?na)?d????a?ct令md + na = t，则?(t?Z)。
?d?bt我们可以把二元一次不定方程恒等变形为ab = cd的形式，再应用上述定理解之。 若a、b、c是正整数，（a，b）=1，求二元一次不定方程ax + by = c的所有整数解。 解：对ax + by = c ……（1），不妨设a ≥ b，
?c?y?atI) 当b = 1时，ax + y = c为：ax = c ?y，因（a，1）=1，由定理二有： (t?Z)。?x?t??x?t故ax + y = c的所有整数解为?(t?Z)。
?y?c?atII) 当a > b > 1时，设a = bq + r, 0 < r b(qx+y) = d(c′?r′) ……（2） 因（a，b）=1，从而（b，r）=1，，故（b，d）=1，由定理二及（2）有： ?c??r?x?bt??????(3)(t?Z) ??qx?y?dt??????(4)若r′= 1，则（1）式的所有整数解为： ?x?c??bt(t?Z)。 ??y?dt?qx?(d?bq)t?cq?若r′≠1，则继续解二元一次不定方程（3），而（3）的解法与（1）的解法相同，即 重复前述步骤一次或数次，可以求出（3）的所有整数解。进而求出（1）的所有整数解。 从以上可知，利用定理二解二元一次不定方程的技巧在于想方设法使（2）式中的r′尽可能地小。若能使（2）式中的r′=1，则求解非常简捷。 例1 求11x + 15y = 7的所有整数解。 解：11(x+2y) = 7(1+y), (注意：而不变为11(x+y) = 7?4y)因（11，7）=1，故 ?1?y?11t?x?11t?1(t?Z)?(t?Z)。 ??x?2y?7ty?2?15t??例2 求407x ? 2816y = 33的所有整数解。 解：因（407，2816）= 11 | 33，原方程可以简化为 37x ? 256y = 3 ?37（x?7y）= 3（1?y），而（37，3）= 1，故 ?1?y?37t?y?1?37t(t?Z)??(t?Z)。 ?x?7y?3tx?7?256t??例3 求13x ? 9y = 17的最小正整数解。 解：13（x?2y）= 17（1?y），因（13，17）= 1，故 ?1?y?13t?y?1?13t(t?Z)?(t?Z)。 ???x?2y?17t?x?2?9t?x?2 当t = 0时，?就是13x ? 9y = 17的最小正整数解。 y?1?例4 有两种书，甲种每本0.28元，乙种每本0.19元，问5元钱恰可买甲、乙两种书 几本。（西安市1978年数学竞赛试题） 解：设分别买甲、乙两种书x本和y本，则原问题就是求0.28x + 0.19y = 5即28x + 19y = 500的非负整数解。 因19（2x + y）= 10（50 + x），且（19，10）= 1，由定理二有： ?50?x?19t?x?19t?50(t?Z)?(t?Z)。 ???2x?y?10t?y?100?28t124?t?3,?t?3,x?7,y?16。 又x≥0，y≥0，?2197答：5元钱恰可买甲种书7本，乙种书16本。 例5 求被3除余a，5除余b，7除余c的正整数。 ?N?3x?a??????①?解：由题意有：?N?5y?b??????② ?N?7z?c??????③?由①与②?3x?a= 5y?b，3（x?2y）= b ? a ? y。因（3，1）= 1， ?b?a?y?3t?y?b?a?3t??(t?Z)??(t?Z)。所以：N = 6（b?a）?15t + a ?x?2y?t?x?2(b?a)?5t= 6b ? 5a ? 15t。 再由③?7z?c= 6b ? 5a ?15t，7z + 15t = 6b ? 5a ? c。 7（z + 2t）= 6b ? 5a ? c ?t，又（7，1）= 1，由定理二有： ?6b?5a?c?t?7m?(m??Z) ???z?2t?m（b?m?）?b ? 5a ? c = 7m?b ? 5a ? c(m?Z) ? t = 6b ? 5a ? c ?7m?= 7 故N = 6b ? 5a ?15（7m?b ? 5a ? c）= 70a + 21b + 15c ?105m(m?Z)。但 N>0, 0?a?2,0?b?4,0?c?6,?m?2。那么所求正整数 N = 70a + 21b + 15c ?105m (m?2,N?0)。 ?x?a1y1?c定理三：?的所有整数解为：x?[a1,a2]t?c(t?Z)。 x?ay?c?22证明：因a1y1?c?a2y2?c，?a1y1?a2y2 ?a1a2aay1?y2,但（1，2）=1，由定理二有： (a1,a2)(a1,a2)(a1,a2)(a1,a2)a2?y??1(a,a)ta1a2?12(t?Z)?x?t?c?[a1,a2]t?c(t?Z)。 ?(a1,a2)?y?a1t2?(a1,a2)?特别地，当(a1,a2)?1时，x?a1?a2t?c(t?Z)。 推论：若x?aiyi?（ci?1、2、???、n），则x?[a1,a2,???,an]t?c(t?Z)。特别地，当ai(i?1、2、???、n)两两互质时，x?(?ai)t?c(t?Z)。i?1n证明与定理三类似，从略。 利用定理三及推论求某些二元一次不定方程组的解是非常简便的。 例6 一支总人数是5的倍数且不少于1000的游行队伍，若按每横排4人编队，最后 差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人。求这支游行队伍的人数最少是多少？（1978年武汉市数学竞赛题） ?N??N?解：有题意有?N?N???N?5x1?????????①?4x2?1??????②?3x3?1??????③ ?2x4?1??????④?1000????????⑤其中N、x1、x2、x3、x4都是正整数。对②、③、④应用定理三有： N = [4，3，2]x + 1 = 12x + 1（x∈Z）。 再由①有：12x?1?5x1?5x1?12x?1。 ?1?2x?5t5(x1?2x)?1?2x,又(5,1)?1??(t?Z)。x?2x?t?1由1?2x?5t?5t?2x?1?2(2t?x)?1?t。而(2,1)?1， ?1?t?2m?t?1?2m??(m?Z)??(m?Z)2t?x?mx?2?5m??那么N?12(2?5m)?1?25?60m(m?Z)。 故符合条件⑤的最小正整数N是1045（m = ?17）。 答：这支游行队伍的人数最少是1045。 本文发表于陕西师范大学数学系主办的《中学数学教学参考》1984年第4期p41~44，发表时署名：安康师范学校王凯（笔名）、铜川市红土中学辛苦。