湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知集合A、{1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则实数m是（） A． 1 B． 2 C． 3 D．4
2．（5分）过点（2， A． ρsinθ=
）且平行于极轴的直线的坐标方程为（） B． ρcosθ=
C． ρsinθ=2
2
D．ρcosθ=2
3．（5分）设两个p、q，其中p：?x∈R，不等式x+2x﹣1＞0恒成立；q：当＜a＜1时，函数f（x）=（4a﹣3）在R上为减函数，则下列为真的是（）
A． p∧q B． ￢p∧￢q C． ￢p∧q
x
D．p∧￢q
4．（5分）设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x，y）满足，则取得
最小值时，点B的个数是（） A． 1 B． 2 C． 3 D．无数个 5．（5分）若一个空间几何体的三个视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个空间几何体的外接球的表面积（）
A． 3 B． 3π C． 9 D．9π 6．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，把∠APB=θ，则tanθ的值是（）
A． 8
B．
2
C． D．
7．（5分）已知函数f（x）=x+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列{ A．
8．（5分）已知|
|=1，|
|=
，?
=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设
=m
+n
}的前n项和为S2015的值为（） B．
C．
D．
（m，n∈R），则=（） A．
9．（5分）已知直线y=kx（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有三个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）其中x1＜x2＜x3，则有（） A． sinx3=1 B． sinx3=x3cosx3 C． sinx3=x3tanx3 D． sinx3=kcosx3
10．（5分）已知抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，A（3，t）（t＞0）为抛物线C上一点，过点A的直线l交x轴的正半轴于点D，且△ADF为正三角形，则p=（） A． 2 B． 18 C． 2或18 D．4或36
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）复数
的虚部是．
2
B． C． D．1
12．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．
13．（5分）图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是．
14．（5分）设F1、F2分别为双曲线
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．若在双曲线右
支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率是．
15．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈，若存在常数m∈R，满足：对任意的x1∈，都存在x2∈，使得
=m，则常数m的值是．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分）有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表． 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 合计 105 已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为．
（1）请完成上面的联表；
（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； （3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率． 参考公式：K=概率表
2
P（K≥k0） k0
2
，其中n=a+b+c+d．
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635
17．（12分）如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE． （1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求BF与平面ABCD所成的角的正弦值．
18．（12分）已知等差数列{an}中，a1+a3+a5=21，a2+a4+a6=27，数列{bn}前n项和为Sn，且4Sn=3bn﹣a1． （1）求an，bn； （2）当n∈N时，求cn=
*
的最小值与最大值．
19．（13分）长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；
（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．
20．（13分）已知椭圆C：
+
=1和圆M：（x+3）+（y﹣2）=r（r＞0）交于A，B两点．
2
2
2
（1）若A，B两点关于原点对称，求圆M的方程； （2）若点A的坐标为（0，2），O为坐标原点，求△OAB的面积．
21．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e． （1）求函数f（x）的单调区间；
x
（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：
＜a＜
；
（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．
湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知集合A、{1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则实数m是（） A． 1 B． 2 C． 3 D．4
考点： 并集及其运算． 专题： 集合．
分析： 由A，B，以及A与B的并集，确定出m的值即可． 解答： 解：∵A={1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}， ∴m=2， 故选：B．
点评： 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
2．（5分）过点（2，）且平行于极轴的直线的坐标方程为（）
C． ρsinθ=2
D．ρcosθ=2
A． ρsinθ= B． ρcosθ=
考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．
分析： 由点（2，则
）可得直角坐标．设P（ρ，θ）为所求直线上的任意一点，
，即可得出．
）可得直角坐标为
，即
．
解答： 解：由点（2，
设P（ρ，θ）为所求直线上的任意一点， 则故选：A．
，即
．
点评： 本题考查了直线的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化，考查了计算能力，属于基础题．
3．（5分）设两个p、q，其中p：?x∈R，不等式x+2x﹣1＞0恒成立；q：当＜a＜1时，函数f（x）=（4a﹣3）在R上为减函数，则下列为真的是（） A． p∧q B． ￢p∧￢q C． ￢p∧q D．p∧￢q
考点： 复合的真假． 专题： 简易逻辑．
分析： 先判断出p，q的真假，再判断出复合的真假，从而得到答案．
2
x
解答： 解：p：?x∈R，不等式x+2x﹣1＞0不恒成立，∴p是假，
q：当＜a＜1时，0＜4a﹣3＜1，函数f（x）=（4a﹣3）在R上为减函数，∴q是真， ∴￢p∧q是真， 故选：C．
点评： 本题考查了复合的判断，考查了不等式以及指数函数的性质，是一道基础题．
x
2
4．（5分）设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x，y）满足，则取得
最小值时，点B的个数是（） A． 1 B． 2
考点： 向量在几何中的应用． 专题： 计算题；数形结合．
C． 3 D．无数个
分析： 先画出点B（x，y）满足的平面区域，再把所求问题转化为求，x+y的
最小值，借助于图象以及线性规划知识即可求得结论．
解答： 解：先画出点B（x，y）满足的平面区域如图，
又因为=x+y．
所以当在点A（0，1）和点B（1，0）处时，x+y最小．
即满足要求的点有两个． 故选B．