第五章 功 机械能
§5.1功和功率
高考要求：功 功率 B
一、功
1、定义：物体受到力的作用，并且在力的方向上发生一段位移，就叫做力对物体做了功。 说明：力和力的方向上的位移是做功的两个不可缺少的因素。
功是力的空间积累效应。它和位移相对应（也和时间相对应）是个过程量。 2、大小：W=F·Scosθ=F·SF = FS ·S 0≤θ＜ 90° 力F对物体做正功, θ= 90° 力F对物体不做功, 90°＜θ≤180° 力F对物体做负功。
特别注意：①公式只适用于恒力做功 ② F和S是对应同一个物体的；
③某力做的功仅由F、S和θ决定，与其它力是否存在以及物体的运动情况都无关。 3、常见的几种力做功的情况 （1）重力做功：WG =mgh
说明：只跟物体的重力及物体移动的始末位置的高度差有关，跟移动的路径无关。 （2）摩擦力做功（包括静摩擦力和滑动摩擦力）（举例说明） 摩擦力可以做负功（包括静摩擦力和滑动摩擦力） 摩擦力可以做正功（包括静摩擦力和滑动摩擦力） 摩擦力可以不做功（包括静摩擦力和滑动摩擦力） 一对静摩擦力的总功一定等于0
一对滑动摩擦力的总功等于 – fΔS（两个物体间的滑动摩擦力至少对一个物体做功，并且对两个物体所做的总功一定是负值，这正是相对滑动为什么会有机械能转化为内能的原因） 斜面上摩擦力做功的一个结论：
①物体沿粗糙直斜面下滑时：Wf=μmgs ②物体沿粗糙下凹曲面下滑时：Wf>μmgs ③物体沿粗糙上凸曲面下滑时：Wf>μmgs
例1、如图所示，斜面长L，倾角为θ，一个质量为m的物体沿斜面由顶端向底端滑动，动摩擦因数为μ，则物体克服摩擦力做的功为多少？ 解：Wf=FfL=μmgLcos=μmgs
可见，当物体只受重力、弹力和摩擦力作用沿斜面运动 时，克服摩擦力做的功等于动摩擦因数、重力的大小和水平 位移三者的乘积。
当物体沿下凹曲面和上凸曲面运动时，由于向心力的存在，可以得证。 （3）弹力做功
弹力对物体可以做正功可以不做功，也可以做负功。 （4）一对相互作用力的功:
一对相互作用力可以同时做正功， 一对相互作用力也可以同时做负功，
一对相互作用力也可以作用力做正功，反作用力做负功， 一对相互作用力也可以作用力做正功，反作用力不做功， 一对相互作用力也可以作用力做负功，反作用力不做功，
例2、关于作用力与反作用力做功的关系，下列说法中正确的是( D ) (A)当作用力做正功时，反作用力一定做负功
(B)当作用力不做功时，反作用力也不做功
(C)作用力与反作用力所做的功一定是大小相等、正负相反的 (D)作用力做正功时，反作用力也可以做正功
4、合力的功 ——有两种方法：
（1）先求出合力，然后求总功，表达式为
ΣW＝ΣF×S ×cosθ （θ为合力与位移方向的夹角） （2）合力的功等于各分力所做功的代数和，即 ΣW＝W1 +W2+W3+…+ Wn
例3、如图所示，一恒力F通过一定滑轮拉物体沿光滑水平面前进了s，在运动过程中，F与水平方向保持θ角，则拉力F对物体做的功为( C D ) (A)Fscosθ (B)2Fscosθ (C)Fs(1+cosθ)
(D)2Fscos2?2
例4、如图所示，A、B两物体始终保持相对静止，并一起沿水平方向向右匀速移动s距离。已知物体B的质量为m,斜面的倾角为θ，求在物体运动过程中： （1）重力对物体B做的功； （2）支持力对物体B做的功； （3）斜面对物体B做的功；
例5、如图所示，站在匀加速直线运动的车厢内的人向前推车厢壁，关于人对车厢的做功情况，说法正确的是（ B ）。
（A）做正功 （B）做负功 （C）不做功 （D）无法确定
5、变力做功: 基本原则——过程分割与代数累积 （1）一般用动能定理 W合=ΔEK求之 ；
（2）也可用（微元法）无限分小法来求, 过程无限分小后， 可认为每小段是恒力做功。 （3）还可用F-S图线下的―面积‖计算. （4）或先寻求F对S的平均作用力 ,
例6、将质量为m的物体由离地心2R处移到地面，R为地球的半径，已知地球的质量为M，万有引力恒量为G，求在此过程中万有引力对物体做的功。 解：此过程是万有引力不断增大，是变力做功。 因此采用微元法，将此过程分成无限多小段， 每一段的位移趋于零，这样每一小段可看成恒 力做功，如图所示。各分段点距离地心的距离 为r1、r2、r3、? rn,则在第k到第k+1个分段 点间，万有引力做的功为：
wk?GMmMm11(r?r)?G(r?r)?GMm(?) kk?1kk?1rkrk?1rk?1rkrk2所以整个过程万有引力做功为：
W?W1?W2???Wn?GMm(?GMm(11Mm?)?Grnr12R111111???????)r2r1r3r2rnrn?1
例7、如图所示，用恒力F通过光滑的定滑轮，将静止于水平面上的物体从位置A拉到位置B，物体可视为质点，定滑轮距水平面高为h，物体在位置A、B时，细绳与水平面的夹角分别为α和β，求绳的拉力F对物体做的功。 解： 答案:Fh(11?) sin?sin?
二、功率 （一）功率
1、物理意义：描述做功快慢的物理量
2、定义：功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率。单位：瓦特 “W” 3、定义式：P=W/t ——求的是时间t内的平均功率
计算式：P=Fvcos θ , 其中θ是力F与速度v间的夹角。 注：用该公式时，要求F为恒力。
（1）当v为即时速度时，对应的P为即时功率； （2）当v为平均速度时，对应的P为平均功率。
（3）重力的功率可表示为 PG =mgv⊥ ，仅由重力及物体的竖直分运动的速度大小决定。 （4）若力和速度在一条直线上,上式可简化为 Pt=F·vt 例8、如图所示，质量为m的小滑块，由静止开始从倾角为θ的固定的光滑斜面顶端A滑至底端B，A点距离水平地面的高度为h，求:
(1)滑块从A到B的过程中重力的平均功率。 (2)滑块滑到B点时重力的瞬时功率。 答案:(1)
1mg2ghsin?(2)mg2ghsin? 2例9、在离地面高H处，以相等速率抛出三个质量相等的小球，其中A球竖直上抛，B球竖直下抛，C球平抛（均不计空气阻力），则有（ B C D ） A、三个球运动过程中加速度不同 B、三个球落地时动能相同
C、三个球各自落地前的瞬间，重力做功的即时功率PA=PB>PC D、从抛出到落地的过程中，重力做功的平均功率PB>PC>PA
（二）汽车的启动问题 1、汽车以恒定的功率启动 恒定功 P当a=0即F=f时，F??f速度V↑F=定a= ?保持vm匀速 率启动 v?v达到最大vm m ∣→→→变加速直线运动→→→→→→→∣→→→→匀速直线运动→→?? (1)若额定功率下起动,则一定是变加速运动,因为牵引力随速度的增大而减小．求解时不能用匀变速运动的规律来解
2、汽车以恒定的加速度启动 P↑=F定v↑当P=P额时 当a=0时，P额F= 恒 定加?F?f定a即P随v的v达到最定=v?a定=F定?f≠0， 速 度启mm增大而增大 大vm，此F??f动 a=即F一定 ? v还要增大 后匀速 m
∣→→匀加速直线运动→→→→∣→→→变加速（a↓）运动→→→→→∣→匀速运动→
(2)特别注意匀加速起动时,牵引力恒定．当功率随速度增至预定功率时的速度(匀加速结束时的速度)，并不是车行的最大速度．此后，车仍要在额定功率下做加速度减小的加速运动(这阶段类同于额定功率起动)直至a=0时速度达到最大．
例10、汽车质量为m，额定功率为P，在水平长直路面上从静止开始沿直线行驶，设行驶中受到的恒定阻力为f。
(1)求汽车所能达到的最大速度vmax.
(2)求汽车从一开始即以加速度a作匀加速运动，汽车能保持匀加速运动的最长时间tmax. (3)当汽车的加速度为a时,速度为v，此时测得发动机的实际功率为P1，假设运动过程中受阻力恒定未知，求它在平直公路上行驶的最大速度。 答案: (1)
PPppv(2) （3） v??m2ffa?mafp1?mav