2019届人教A版（文科数学） 反证法 单元测试
1.用反证法证明命题“若a,b,c>0,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,则a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是( ) A.假设a,b,c都是偶数 B.假设a,b,c都不是偶数 C.假设a,b,c至多有一个是偶数 D.假设a,b,c至多有两个是偶数
解析:对“至少有一个”的否定应为“一个也没有”,故选B. 答案:B
2.已知x1>0,x1≠1,且xn+1=(n=1,2,…),试证“在数列{xn}中,对任意的正整数n,都满足xn>xn+1”,
当此题用反证法证明时,应假设( ) A.在数列{xn}中,对任意的正整数n,有xn=xn+1 B.在数列{xn}中,存在正整数n,使xn=xn+1 C.在数列{xn}中,存在正整数n,使xn≥xn+1 D.在数列{xn}中,存在正整数n,使xn≤xn+1 解析:“任意”的否定词是“存在一个”. 答案:D
3.已知α∩β=l,a?α,b?β,若a,b为异面直线,则( ) A.a,b都与l相交
B.a,b中至少有一条与l相交 C.a,b中至多有一条与l相交 D.a,b都不与l相交 答案:B
4.用反证法证明命题“若a,b是实数,且|a-1|+|b-1|=0,则a=b=1”时,应作的假设是 . 解析:结论“a=b=1”的含义是a=1且b=1,故其否定应为“a≠1或b≠1”. 答案:a≠1或b≠1
5.完成反证法证题的全过程.
题目:设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列. 求证:乘积p=(a1-1)·(a2-2)·…·(a7-7)为偶数. 证明:假设p为奇数,则 均为奇数. 因为奇数个奇数之和为奇数,所以有奇数=
= =0.
但奇数≠偶数,这一矛盾说明p为偶数.
解析:乘积为奇数,则每一个正整数就为奇数,再利用求和、求差而得到结论. 答案:a1-1,a2-2,…,a7-7 (a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) (a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)
6.已知△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1为 三角形,△A2B2C2为 三角形.(填“锐角”或“钝角”)
解析:由已知得△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1为锐角三角形.若△A2B2C2是锐角三
角形,由
得
,与A2+B2+C2=π矛盾,故△A2B2C2是钝角三角形.
三式相加,得A2+B2+C2=答案:锐角 钝角
7.已知a1+a2+a3+a4>100,求证:a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于25. 证明假设a1,a2,a3,a4均不大于25,即a1≤25,a2≤25,a3≤25,a4≤25,
则a1+a2+a3+a4≤25+25+25+25=100, 这与已知a1+a2+a3+a4>100矛盾,
故假设错误,所以a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于25. 8.
如图,在△ABC中,|AB|>|AC|,AD为BC边上的高.若AM是BC边上的中线,求证:点M不在线段CD上. 证明假设点M在线段CD上,
则|BD|<|BM|=|CM|<|CD|.
由已知,得|AB|2=|BD|2+|AD|2,|AC|2=|AD|2+|CD|2, 故|AB|2=|BD|2+|AD|2<|BM|2+|AD|2<|CD|2+|AD|2=|AC|2, 即|AB|2<|AC|2,
所以|AB|<|AC|.这与|AB|>|AC|矛盾, 故点M不在线段CD上.
★9.已知函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像连续不间断,且f(x)在[a,b]上单调,f(a)>0,f(b)<0.求证:函数y=f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.
证明由于y=f(x)的图像在[a,b]上连续不间断,
又f(a)>0,f(b)<0,即f(a)·f(b)<0,
故y=f(x)在区间[a,b]上一定存在零点x0.
下面用反证法证明只有一个零点x0.
假设y=f(x)在[a,b]上还存在一个零点x1(x1≠x0), 则f(x1)=0.
由函数f(x)在[a,b]上单调,且f(a)>0,f(b)<0知f(x)在[a,b]上是减少的. 若x1>x0,则f(x1)
因此假设不成立,即f(x)在[a,b]上的零点是唯一的. ★10.已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,( 1-c)a不能同时大于. 证法一假设三式同时大于,
即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,
三式相乘,得(1-a)·a·(1-b)·b·(1-c)·c>.
∵(1-a)·a≤,
(1-b)·b≤,(1-c)·c≤,
∴(1-a)·a·(1-b)·b·(1-c)·c≤
得出矛盾,因此假设不成立.
,当且仅当a=b=c=时,等号成立.
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于证法二假设三式同时大于.
.
∵00.
∴.
同理,.
三式相加,得,即,矛盾.
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于
.