N维空间几何体质心的计算方法
摘要：本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题，通过微积分方面的知识来求解，从平面推广到空间，问题也由易到难。首先提出质心或形心问题，然后给出重心的定义，再由具体的例子来求解相关问题。
关键字：质心 重心坐标 平面薄板 二重积分 三重积分 一．质心或形心问题：
这类问题的核心是静力矩的计算原理。
1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心： 静力矩的微元关系为dMx?yudl,dMy?xudl.
其中形如曲线L（y?f(x),a?x?b）的形状体对x轴与y轴的静力矩分别为
?ba'b'??f(x)1??f(x)dx?SM?uf(x)1?fyya????(x)??dx ，
22设曲线
LAB的质心坐标为（x,y），则
'x?MyM,y?Mx,M其中
?M??ub?1a(f)x?x?若在式
?(?f2?)xy?为
dxLAB的质量，L为曲线弧长。
ulMyM与式
2MxM两端同乘以
2?，则可得到
2'b'???2?xl??2?bfx(?)f1xdx?(S)2?yl?2?f(x)1?f(x)?dx?SxSaya?????,,其中x与
Sy分别表示曲线
LAB绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。
2．均匀密度平面薄板的静力矩与质心： 设f(x)为
?a,b?上的连续非负函数，考虑形如区域D??(x,y)a?x?b,0?y?f(x)?的
薄板质心，设M为其密度，利用微元法，小曲边梯形MNPQ的形心坐标为
(y,1f(y)),x?y?x??x2，当分割无限细化时，可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中
1(x,f(x))2于点处的一个质点，将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有dMx?u1f(x)f(x)dx2，
dMy?uxf(x)dx.两个静力矩为
Mx?u?ba12b?f(x)dxM?uxaxf(x)dx?2,.设质心坐标为(x,y)，则有
x?MyM?uM?baxf(x)dx，
y?MyM?uM?ba12bf(x)dxM?uaf(x)dx?MA?2.其中为该
均匀密度薄板的质量，A为面积。 二．平面图形的重心： 给定一个曲线
y?f1(x),y?f2(x),x?a,x?b围成的图形，它是一个物质平面图形，我
们考虑均匀的面密度，即单位面积的质量为常数，它在图形的各部分都等于?.将所给图形用直线
x?a,x?x1,?,x?xn?b，划分成宽为?x1,?x2,?,?xn的窄条，每个窄条的
?xi为底，高为f2(?i)?f1(?i)的
质量等于它的面积和密度?的乘积。如果每个窄条用以
矩形来代替，其中
?i?xi?1?xi2，则这窄条的质量将近似等于
，这个窄条的重心将近似位于相应的矩形的重
?mi???f2(?i)?f1(?i)??xi(i?1,2,?,n)(xi)??i,(yi)c?心上：
f2(?i)?f1(?i)2现在把每个窄条用一个质点来代替，它的质量等
于对应窄条的质量，并且集中于该窄条的重心处，我们来求整个图形的重心坐标的近似
xc?值。
????f(?)?f(?)??x???f(?)?f(?)??xi2i1i2i1iii，
1??f1(?i)?f2(?i)?i??f2(?i)?f1(?i)??xi2yc????f2(?i)?f1(?i)??xi当
max?xi?0xc时
取
极
限
，
则
得
x?f(x)?f(x)?dx????f(x)?f(x)?dxba21ba21，
1ba?f2(x)?f1(x)??f2(x)?f1(x)?dx?yc?2b?a?f2(x)?f1(x)?dx.这些公式任何均匀的平面图形都适用，可看
出重心的坐标是与密度无关的。例：求抛物线与直线所围成的重心的坐标（如图） 解：在这种情况下，
f2(x)?ax,f1(x)??ax, 2?2ax55a205a20xc?因此
a2?0xaxdxa2?0axdx?22a?x53?a5 ,
yc?0.
三．重心
1.物体的重心是指物体各部分所受重力的合力的作用点，在生产实际中，常常要确定物体的重心。例如：炼钢用钢水包的包轴位置，就与钢水包的重心有关，如果包轴
低于重心，用天平调动钢包时就会翻转，如果包轴高于重心过多，则倒出钢水时翻转困难。因此，我们总是将包轴安装于略高于重心的地方，这时显然需要确定重心的位置。 本段将利用定积分来计算任意形状的均匀平面薄板的重心位置，显然，若于其重心处支持之，则此薄板必保持水平平衡而不倾斜。
设均匀薄板是由曲线
y?y1(x)，y?y2(x)和直线x?b围成的平面图形，我们要求此
平面的重心G(x,y)，用u表示此薄板单位面积的重量，则微面积
ds的重量为u(y1?y2)dx，
(x,其重心G的坐标为
y1?y2b)u(y?y2)dx2，显然整个薄板的重量为?a1，由力学知，合力
对任一轴的力矩，等于各分力对该轴力矩之和，取对y轴的力矩，得
?ub??x?b(y?y)dx(?a121ydx2)?auxy???,取对x轴的力矩得
y1?y2b?ub?(y?y)dx?y?u(y?y)?2?a122dx,由此两式，??a1?即得确定薄板重心坐标的公式：
x(y?y)dx??x???(y?y)dx12ba12babax(y1?y2)dx122(y?y)dx12?2y??b?a(y1?y2)dxba?ba??s???(1)122(y1?y2)dx?2?s??
其中s标薄板的面积，由公式(1)知均匀薄板的重心只与薄板的形状有关，而与薄板单位面积的重量无关。
特别，若
bay2(x)?0，则得曲边梯形薄板重心坐标公式:
ba12xydx?2ydx?x?by?bydxa?aydx?,
.
例：试求半径为R的半圆形均匀薄板的重心。
s?解：由于
?R222222,y1?R?x,y2??R?x,故知重心G的坐标(x,y)为：
?x?bax(y1?y2)dxs?R2?0xR2?x2dx1?R222(R2?x)???3?R22322R?04R?0.42R3?，
y??ba122(y1?y2)dx2?0s.
四．利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心
设有非均匀平面薄板D，其上每点的密度为???(x,y)，设薄板D的重心坐标为
(x,y)，考虑D中微面积dD，它的微质量为： dm??(x,y)dD，它关于y轴与x
轴的力矩分别为：
xdm?x?(x,y)dD与ydm?y?(x,y)dD
把这些微质量的力矩加起来，即得薄板D关于y轴与x轴的力矩为：
??xdm???x?(x,y)dD?DD??x?(x,y)dxdyD??ydm?y)dD?D??y?(x,D??y?(x,y)dxdyD
薄板的总质量，于是根据重心的定义，得求重心坐标的公式：
??xdm??x?(x,y)dxdy?x?DD?m????(x,y)dxdyD???ydm?(2)y?????y?(x,y)dxdy?D?D?m???(x,y)dxdy?D??
特别，若薄板是均匀的，即?(x,y)?常数，则得求均匀薄板重心坐标公式：xdxdyx???DDy???ydxdyD，
D.
xdxdy?badx?yy2(x)b1(x)xdy??ax?y2(x)?y1(x)?dx对于均匀薄板，我们有
??D?，
?y2(x)??ydxdy??by?adx?y2(x)by21(x)ydy??D?a???2y?dx1(x)???b122a2??y2(x)???y1(x)??dx故
与
x?y?x?ba2?y1?dx，
Dy??ba12y2?y12?dx?2D.
五．设一立体在空间占据区域T，那么立体的体积为
V????dxdydzT
设???(x,y,z),(x,y,z)?T是立体在点(x,y,z)的密度，其中T是它所占据的空间区域，那么该立体的质量为
立体重心的坐标公式为：
TM?????(x,y,z)dxdydz1Vx????xdxdydzTy?，
1V???ydxdydzTz?，
1V???zdxdydzT.
这里x，y，z是区域T的几何重心的坐标。
例：求平面x?0,z?0,y?1,y?3,x?2z?3所围之棱柱的重心坐标。 解：先求棱柱的体积
V????dxdydz??dx?dy?T3??30dx?130313?z20dz3?xdy??30(3?x)dx231?(3x?x2)20?92
现在求重心的坐标
3?x2238x????xdxdydz??0xdx?1dy?02dz?19T9， 3?x2238y????ydxdydz??0dx?1ydy?02dz?29T9， 3?x22318z????zdxdydz??0dx?1dy?02zdz?9T92.
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卓明 4．《高等数学解题手册》，天津科学技术出版社，1983年12月出版，作者：丹科 波波夫 科热夫尼科娃。