模块四：行程问题
一、 行程问题
路程=速度×时间 二、 流水行船问题
顺流速度=静水速度+水流速度 水流速度=
逆流速度=静水速度－水流速度
1×（顺流速度－逆流速度） 2 相遇路程=速度和×相遇时间 追及路程=速度差×追及时间
三、 火车过桥问题
火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速×过桥时间=车长+桥长．
【例12】 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙背向而
行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米．出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇，求花圃的周长．
【解析】设甲、乙相遇时间为t分钟，则甲、丙相遇时间为?t?3?分钟，根据题意，由相遇路程相等可列方
程t?38?36??3??40?36?
【答案】8892米
【例13】 某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每
小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，则此人此时骑摩托车的速度应为多少？
【解析】设此人从家里出发到火车开车的时间为x小时，
1515根据题意可列方程：30(x?)?18(x?)，解得x?1，
606030?(1?此人打算在火车开车前10分钟到达，骑摩托车的速度应为
【答案】27
15)60?27（千米/时） 101?60【例14】 甲、乙两车同时从A，B两地出发，相向而行，在A，B两地之间不断往返行驶．甲车到达B地后，
在B地停留了2个小时，然后返回A地；乙车到达A地后，马上返回B地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B地288千米．已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米．请问：A，B两地相距多少千米？
【解析】设A、B两地相距x千米，根据题意可列方程：【答案】420千米
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2x?288x?288??2，解得x?420 4060【例15】 某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B地，
共用了55分钟．回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，再以每小时4千米的速度上坡，1从B地到A地共用1小时，问A、B两地相距多少千米？
2?55??3?【解析】间接设未知数，设从A地到B地共用x小时，根据题意可列方程：12t???t??9?3t?4???3t??8，
?60??2?1?55?解得t?，所以A、B两地相距12t???t??9?9（千米）
4?60?【答案】9千米
【例16】 一人步行从甲地去乙地，第一天行若干千米，自第二天起，每一天都比前一天多走同样的路程，
这样10天可以到达乙地；如果每天都以第一天所行的相同路程步行，用15天才能到达乙地；如果每天都以第一种走法的最后一天所行的路程步行到乙地，需要几天？
【解析】设a是第一次第一天走的路程，b是第二天起每天多走的路程，x是所求的天数．
则根据题意可列方程：
， 15a?a?（a?b）?（a?2b）?（a?3b）?（a?4b）?（a?5b）?（a?6b）?（a?7b）?（a?8b）?（a?9b）解得a?9b．
又15a?x?a?9b?，解得x?7.5．
【答案】7.5天
【例17】 一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，
水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？
【解析】设小船在静水中的速度为a，原来的水速为b，则2(a?b)?3(a?2b)，解得a?4b，故所求时间为
2(a?b)?1（小时）.
(a?2b)【答案】1
【例18】 一个人乘木筏在河面顺流而下，漂到一座桥下时此人想锻炼一下身体，便跳入水中逆水游泳，10
分钟后转身追赶木筏，终于在离桥1500米远的地方追上木筏，假设水流速度及此人游泳的速度都一直不变，那么水流速度为多少？
【解析】因为向上游了10分钟，所以返回追赶也要10分钟（流水中的相遇时间与追及时间都与水流速度无
1关），即水流20分钟的路程为1500米，水流速度为1.5??4.5（千米∕时）．
3【答案】水流速度为4.5千米/时
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【例19】 一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由
A港出发顺流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈．问： （1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小时？ （2）救生圈是何时掉入水中的？
【解析】（1）设小船在静水中的速度为a，水流速度为b，则6(a?b)?8(a?b)，解得a?7b，故小船按水
流速度由A港漂流到B港所需时间为
6(a?b)； ?48（小时）
b（2）设小船行驶x小时后，救生圈掉入水中，则(6?x?1)b?(a?b)?1?(6?x)(a?b)，将a?7b代入上式，得到x?5，故救生圈是上午11点掉入水中的
【答案】48；5
模块五：工程问题
工作总量=工作时间×工作效率
【例20】 有甲、乙、丙三个水管，独开甲管5小时可以注满一池水；甲、乙两管齐开，2小时可注满一池水；
甲、丙两管齐开，3小时注满一池水．现把三管一齐开，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后2小时水池注满．问三管齐开了多少小时？
111【解析】由题意知，甲管注水效率为，甲、乙两管的注水效率之和为，甲、丙两管的注水效率之和为，
25314?112?设三管齐开了x小时，根据题意可列方程：x??????x?2??1，解得x?
519?235? 各部分工作量之和=1
【答案】
4小时 19【例21】 检修一住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天．前
7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙两人合作完成，问乙中途离开了几天？
【解析】设乙中途离开了x天，根据题意可列方程【答案】乙中途离开了3天
【例22】 某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16
套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费． （1）问该中学库存多少套桌凳？
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111??1?7??7?x??2?????1，解得x?3 1418?1812?（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省钱为什么？
【解析】（1）设该中学库存x套桌凳，根据题意可列方程：
（2）方案①所需费用：
方案②所需费用：方案③所需费用：
xx??20，解得x?960． 1624960； ??80?10??5400（元）
16960； ??120?10??5200（元）
24960． ??80?120?10??5040（元）
16?24综上，方案③最省钱．
【答案】（1）960套；（2）方案③最省钱．
模块六：商品销售问题
在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：
标价=进价??1+利润率?
利润=售价－进价 利润率=利润?100% 进价利润=进价×利润率
实际售价=标价×打折率
【例23】 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经
销这种商品原来的利润率.
【解析】设经销这种商品原来的利润率为x，原进价为a，根据题意可列方程：
a(1?x)?a(1?6.4%)(1?x?8%)，解得x?17%．
【答案】17%
【例24】 某商品月末的进货价为比月初的进货价降了8%，而销售价不变，这样，利润率月末比月初高10%，
问月初的利润率是多少？
【解析】设月初进货价为a元，月初利润率为x，则月初的销售价为a?1?x?元，月末进货价为a?1?8%?元，
销售价为a?1?8%???1??x?10%???元，根据月初销售价与月末销售价相等可列方程：a?1?x??a?1?8%???1??x?10%???，解得x?0.15．
【答案】15%
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【例25】 某公司生产一种饮料是由A，B两种原料液按一定比例配制而成，其中A原料液的成本价为15元
/千克，B原料液的成本价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得70%的利润率．由于市场竞争，物价上涨，A原料液上涨20%，B原料液上涨10%，配制后的总成本增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是多少？
【解析】原料液A的成本价为15元/千克，原料液B的成本价为10元/千克，
涨价后，原A价格上涨20%，变为18元；B上涨10%，变为11元，总成本上涨12%， 设每100千克成品中，二原料比例A占x千克，B占（100-x）千克，
则涨价前每100千克成本为15x?10?100?x?，涨价后每100千克成本为18x?11?100?x?， 根据题意可列方程：18x?1?110?0x????100?x?600 7156075127.5（元），销售价为元，??77771x5??101?0x?0????解?1?，12%得x?100，所以7即二者的比例是：A:B?1:6，则涨价前每千克的成本为利润为7.5元．
原料涨价后，每千克成本变为12元，成本的25%为3元，保证利润为7.5元， 则利润率为：7.5??12?3??50%．
【答案】50%．
模块七：方案决策问题
在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案．
【例26】 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=投资收益?100%）
实际投资额（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？
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