nnl(A)??ri(A)??cj(A)．
i?1j?1（Ⅰ）对如下数表A?S(4,4)，求l(A)的值；
（Ⅱ）证明：存在A?S(n,n)，使得l(A)?2n?4k，其中k?0,1,2,?,n； （Ⅲ）给定n为奇数，对于所有的A?S(n,n)，证明：l(A)?0．
（Ⅰ）
r1(A)?r3(A)?r4(A)?1，r2(A)??1；
c1(A)?c2(A)?c4(A)??1，c3(A)?1，
所以l(A)??r(A)??cii?1j?144j(A)?0． ??????3分
（Ⅱ）证明：（ⅰ）对数表A0：aij?1(i,j?1,2,3,?,n)，显然l(A0)?2n． 将数表A0中的a11由1变为?1，得到数表A1，显然l(A1)?2n?4．
1?1，得到数表A2，显然l(A2)?2n?8． 将数表A1中的a22由变为
依此类推，将数表Ak?1中的akk由1变为?1，得到数表Ak． 即数表Ak满足：a11?a22???akk??1(1?k?n)，其余aij?1． 所以 r1(A)?r2(A)???rk(A)??1，c1(A)?c2(A)???ck(A)??1．
所以 l(Ak)?2[(?1)?k?(n?k)]?2n?4k，其中k?0,1,2,?,n．?????7分 【注：数表Ak不唯一】 （Ⅲ）证明：用反证法．
假设存在A?S(n,n)，其中n为奇数，使得l(A)?0．
因为ri(A)?{1,?1}，cj(A)?{1,?1} (1?i?n,1?j?n)，
所以r1(A)，r2(A)，?，rn(A)，c1(A)，c2(A)，?，cn(A)这2n个数中有n个1，n个?1．
令M?r1(A)?r2(A)???rn(A)?c1(A)?c2(A)???cn(A)．
一方面，由于这2n个数中有n个1，n个?1，从而M?(?1)n??1． ①
另一方面，r；1(A)?r2(A)???rn(A)表示数表中所有元素之积（记这n个实数之积为m）
2c1(A)?c2(A)???cn(A)也表示m， 从而M?m2?1． ②
①、②相互矛盾，从而不存在A?S(n,n)，使得l(A)?0．
即n为奇数时，必有l(A)?0． ??????13分 错误！未指定书签。．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））（本
2小题满分13分）已知函数f(x)?x?ax?a(x?R)同时满足：①函数f(x)有且只有一
个零点；②在定义域内存在0?x1?x2，使得不等式f(x1)?f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn?f(n)（n?N）.
*(Ⅰ) 求函数f(x)的表达式； (Ⅱ) 求数列{an}的通项公式；
(Ⅲ) 在各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ci?ci?1?0的整数的个数称为数列{cn}的变号数. 令cn?1?a，求数列{cn}的变号数. anⅠ）?f(x)有且只有一个零点，
???a2?4a?0 解得a?0,a?4 ??????1分
当a?4时，函数f(x)?x?4x?4在(0,2)上递减
故存在0?x1?x2，使得不等式f(x1)?f(x2)成立 ??????2分
2
当a?0时，函数f(x)?x在(0,??)上递增
故不存在0?x1?x2，使得不等式f(x1)?f(x2)成立 ??????3分 综上，得a?4，f(x)?x?4x?4 ??????????4分 (Ⅱ)由（Ⅰ）可知Sn?n2?4n?4 当n?1时，a1?S1?1
??????5分
22当n?2时，an?Sn?Sn?1
?(n2?4n?4)?[(n?1)2?4(n?1)?4]
?2n?5 ????????????7分
n?1?1,??????????8分 ?an???2n?5,n?2
n?1??3,?(Ⅲ)由题设得 cn??， ??????9分 41?,n?2??2n?5?n?3时,cn?1?cn?448???0,
2n?52n?3(2n?5)(2n?3)?n?3时,数列{cn}递增， ????????????10分
14?c4???0,由1??0?n?5,可知c4?c5?0,
32n?5即n?3时，有且只有1个变号数；
又?c1??3,c2?5,c3??3,即c1?c2?0,c2?c3?0
∴此处变号数有2个； ??????????????????12分 综上得数列{cn}的变号数为3. ??????13分