《双曲线的性质》教案
上海市老港中学 彭榕春
2011—03—22 高二（1）班 下午第二节
课题 教 学 目 标 2．培养学生的学习能力，探究能力，反思类比和归纳能力； 3．从基础知识，基本题型，基本方法入手，通过形的观察和方程的角度的有机结合，从方程角度研究圆锥曲线的几何性质； 4．通过领悟、体会知识的形成、发生、发展过程，进一步理解数学思想，体会解析几何的本质特征． 教 材 分 析 1．地位与作用 双曲线的性质是圆锥曲线的关键知识点，对双曲线定义与本质属性的理解和应用起重要的作用。其性质的探究有利于强化数形结合思想． 2．教学重点 双曲线性质的探究与应用． 3．教学难点 如何培养学生的自主探究能力． 《双曲线的性质》 1．从椭圆性质类比探究双曲线的性质； 教学过程 教学内容 1、知识回顾 （1）椭圆定义，双曲线定义； （2）椭圆的标准方程，双曲线的标准方程； （3）解析几何研究的两个基本问题： 教师活动 在学案上完成，学生口答。 学生活动 学生自主学习 x2y2（4）椭圆的性质（以2?2?1?a?b?0?为例）． ab2．探究学习 探究双曲线的性质 由学生在学案上完成，性质学生自主学生自主探究学习。 x2y2（以2?2?1?a?0,b?0?为例）． ab（1）基本性质： （2）焦点坐标： （3）对称性： （4）顶点： （5）实轴： 虚轴： 双曲线的焦点永远在 上； （6）a? ，（a?0,b?0）； （7）范围： （8）若P为双曲线上一点，F1,F2是两个焦点，?F1PF2??，则S?F1PF2? ． （9）渐近线： 3、巩固训练 2研究，教师根据学生的学习情况补充完善。 注意强化：从图像上观察，从方程的角度去证明。 x2y2??1的顶点坐标是 ，焦点（1）双曲线49学生完成之学生自主坐标是 ． （2）实轴长为6，焦距为10的双曲线方程为 ． 后进行展示，学习与合其解题过程让学生去评作学习，相互点评。 价。 x2y2??1的顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的 （3）以椭圆259 双曲线方程为 ． x2y2?（4）给出问题：F1,F2是双曲线=1的焦点，点P在双1620曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离. 某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 PF1?PF2?8，即9?PF2?8，得PF2?1或17． 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内 ． 4、知识回顾 5、课外练习（略） 6、板书设计（略）
“学案导学”学案 课题：双曲线（3）双曲线的性质 一、学习目标
1．探究双曲线的对称性，顶点．实轴．虚轴．范围等几何性质 ； 2．能初步运用双曲线的性质解决与双曲线有关的问题； 3．领悟类比思想． 二、教学过程 1．知识回顾
I．椭圆定义： ，
双曲线定义： ； II．焦点在x轴时，椭圆的标准方程是 ，双曲线的标准方程是
； 焦点在y轴时，椭圆的标准方程是 ， 双曲线的标准方程是 ；
x2y2III．椭圆的性质（以2?2?1?a?b?0?为例）．
ab（1）基本性质：P是椭圆上任一点，则PF12?PF2? ； （2）焦点坐标：F1 ，F2 ，焦距为 ； （3）对称性：椭圆关于 ， ， 对称； （4）长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ；
（5）顶点坐标A1 ，A2 ，B1 ，B2 ， （6）a? ，?a?b?0,a?c?0?；
2（7）范围： ， ；
（8）若P为椭圆上一点，F1,F2是两个焦点，?F1PF2??，则S?F1PF2?btan2?2．
x2y22．探究学习 探究双曲线的性质（以2?2?1?a?0,b?0?为例）．
ab（1）基本性质：P是双曲线上任一点，则 ；
y（2）焦点坐标：F1 ，F2 ，焦距为 ； （3）对称性：双曲线关于 ， ， 对称；
中心在 ；
（4）顶点：顶点坐标A1 ，A2 ；
（5）实轴： ；虚轴； ； 23. 实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距为 ；双曲线的焦点永远在实轴上； （6）a? ，（a?0,2ox； b0?）
（7）范围： ， ；
双曲线在两条直线 ， 的 侧；
（8）若P为双曲线上一点，F1,F2是两个焦点，?F则S?F1PF2? ． 1PF2??，（9）渐近线： 3．巩固训练
x2y2??1的顶点坐标是 ，焦点坐标是 ．（1）双曲线 49（2）实轴长为6，焦距为10的双曲线方程为 ．
x2y2??1的顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的 （3）以椭圆
259 双曲线方程为 ．
x2y2?（4）给出问题：F1,F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的 1620距离等于9，求点P到焦点F2的距离. 某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由
PF1?PF2?8，即9?PF2?8，得PF2?1或17．
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将
正
确的结果填在下面空格内 ． 4．课外练习：
（1）研究焦点在y轴上的双曲线的性质．
（2）双曲线9x?16y?144的实半轴长是 ；虚半轴长是 ；焦点坐标是
22 ；顶点坐标是 ． （3）过两点A?22,?3,B4,?5的双曲线标准方程为 ．
???x2y2??1表示双曲线，则实数k的取值范围是 ，其标准方 （4）如果方程
5?k1?k程是 ，焦点坐标是 ．
（5）若双曲线3mx2?my2?3的一个焦点为（0，?2），求m的值及它的虚轴长． 24．
1、教学过程的反思
（1）从解析几何的基本方法和本质属性入手，从椭圆到双曲线，从图像到方程，层层递进，
让学生进行自主探究，发现规律，总结特征，进行正向和逆向应用．在观察中寻求数学规律，在练习中掌握数学方法，在探究中培养数学思想，在学习中提升数学能力． （2）讲解还是过多一些，错误的问题完全可以让学生自主探究解决； （3）练习（4）完成得比较仓促； （4）学生之间合作学习的时间还不足．
2、再上这节课的改进之处
（1）还可以放得更开一点，完全放手让学生去探究，不必要考虑教学进度能否完成； （2）练习（4）还可以让学生进行更深入的思辨； （3）变式训练还有进一步变化的空间．