§06. 不等式知识要点
1. 不等式的基本概念
（1） 不等（等）号的定义：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b. （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
（1）a?b?b?a（对称性） （2）a?b,b?c?a?c（传递性）
（3）a?b?a?c?b?c（加法单调性） （4）a?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） （5）a?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减） （6）a.?b,c?0?ac?bc
（7）a?b,c?0?ac?bc（乘法单调性） （8）a?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）
11ab(9)a?b?0,0?c?d??（异向不等式相除） (10)a?b,ab?0??（倒数关系）
abcdnn（11）a?b?0?a?b(n?Z,且n?1)（平方法则） （12）a?b?0?na?nb(n?Z,且n?1)（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）若a?R,则|a|?0,a2?0
（2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 ab?a?b.（当仅当a=b时取等号）
2极值定理：若x,y?R,x?y?S,xy?P,则： 1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； ○
2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.（ 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. ） ○
(4)若a、b、c?R?,则a?b?c3?abc（当仅当a=b=c时取等号） 3?ba(5)若ab?0,则??2（当仅当a=b时取等号）
aba、b、c?R，a2?b2?c2?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）
(6)a?0时，|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;（7）若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b||x|?a?x2?a2??a?x?a
（8）
a?b?0,m?0，则b?b?m（糖水的浓度问题）
aa?m4.几个著名不等式
（1）平均不等式：
如果a,b都是正数，那么
211?ab?ab?a?ba2?b2（当仅当a=b时取等号）
?.22即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：
2222特别地，ab?(a?b)2?a?b（当a = b时，(a?b)2?a?b?ab）
22222222a?b?c?a??b?c??幂平均不等式：a12?a22?...?an2?1(a1?a2?...?an)2 ???(a,b,c?R,a?b?c时取等)n33??注：例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2).
11111常用不等式的放缩法：①1?1??2???
nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n111②k?1?k? ???k?k?1k?1?k2kk?1?k5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造、图解法、数学归纳法
(1)比较法：作差——分解因式、配方等——判断符号——结论（也可作商与比较） (2)综合法：利用不等式性质、定理证明不等式
(3)分析法：从欲证不等式出发，寻找它成立的充分条件.注意书写的规范性，否则可能不得分。
(4)换元法：通过整体代换简化表达式
(5)反证法：反设→推出矛盾→否定假设→得出结论 (6)放缩法：对通项进行适当的放缩
(7)构造法：构造函数h（x）=f（x）-g（x），利用函数的单调性、有界性，或转化为恒成立问题 （8）图像法：类比几何意义，做出函数图像
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
2
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
?f(x)g(x)?0 f(x)f(x)g(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?0???g(x)?0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ○1 ?f(x)?0????定义域f(x)?g(x)??g(x)?0??f(x)?g(x)? ○2
○3 ?f(x)?0?f(x)?0?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?0f(x)?g(x)??g(x)?02?2???f(x)?[g(x)]?f(x)?[g(x)]af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)
（4）.指数不等式：转化为代数不等式
af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb（5）对数不等式：转化为代数不等式
?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;?f(x)?g(x)??f(x)?0 ?logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?（6）含绝对值不等式
1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○
3应用化归思想等价转化 ○
g(x)?0|f(x)|?g(x)?? ??g(x)?f(x)?g(x)?g(x)?0|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同时为0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)?（7）含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之
后要写上：“综上，原不等式的解集是?”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 易错点提示 1、利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。 2、不等式的能成立,不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 恒成立问题 若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x??A 能成立问题（有解问题）若在区间D上存在实数x使不等式f?x??A成立,则等价于在区间D上f?x??A max注：常用不等式的解法举例（x为正数）： ①x(1?x)2?1?2x(1?x)(1?x)?1(2)3?4
22327222②y?x(1?x2)?y2?2x(1?x)(1?x)?1(2)3?4?y?23 若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x??B maxmin若在区间D上存在实数x使不等式f?x??B成立,则等价于在区间D上f?x??B. min223279类似于
y?sinxcosx?sinx(1?sinx)，③|x?1|?|x|?|1|(x与1同号，故取等)?2
xxx22