x＝vB·
2?H－l?
＝0.80 m g
(3)若轻绳碰到钉子时，轻绳拉力恰好达到最大值Fm，由圆周运动规律得 v2BFm－mg＝m rr＝l－OP 由以上各式解得 Fm＝9 N
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一、单项选择题
1． (2013·江苏·2)如图1所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度
的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是
( )
图1
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小 答案 D
解析 因为物体的角速度ω相同，线速度v ＝rω，而rA 故A项错；根据an＝rω2知anA gmg 的向心加速度较大，则B的缆绳与竖直方向夹角较大，缆绳拉力FT＝， cos θ则FTA 2． 如图2所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是以O为圆心的一段圆弧，位 于竖直平面内．现有一小球从一水平桌面的边缘P点向右水平飞出，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入轨道．OA与竖直方向的夹角为θ1，PA与竖直方向的夹角为θ2.下列说法正确的是 ( ) 图2 A．tan θ1tan θ2＝2 B．cot θ1tan θ2＝2 C．cot θ1cot θ2＝2 D．tan θ1cot θ2＝2 答案 A 解析 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，小球在vygtA点时速度与水平方向的夹角为θ1，tan θ1＝＝，位移与竖直方向的夹角为θ2，tan θ2 v0v0xv0t2v0＝＝＝，则tan θ1tan θ2＝2.故A正确，B、C、D错误． y12gt gt2 3． 在光滑水平桌面中央固定一边长为0.3 m的小正三棱柱abc，俯视如图3.长度为L＝1 m 的细线，一端固定在a点，另一端拴住一个质量为m＝0.5 kg、不计大小的小球．初始时刻，把细线拉直在ca的延长线上，并给小球以v0＝2 m/s且垂直于细线方向的水平速度，由于光滑棱柱的存在，细线逐渐缠绕在棱柱上(不计细线与三棱柱碰撞过程中的能量损失)．已知细线所能承受的最大张力为7 N，则下列说法中不正确的是 ( ) 图3 A．细线断裂之前，小球速度的大小保持不变 B．细线断裂之前，小球的速度逐渐减小 C．细线断裂之前，小球运动的总时间为0.7π s D．细线断裂之前，小球运动的位移大小为0.9 m 答案 B 解析 小球在光滑水平面内运动，由于没有能量损失，细线断裂之前，小球速度的大小保持不变，选项A正确，选项B错误；线速度不变，细线越来越短，因此角速度应该v2mv22逐步增大，由F＝m得r＝＝ m<0.3 m，由于细线长以0.3 m递减，当被棱柱挡住 rF71 三次时细线长变为0.1 m，此时细线断，小球正好绕三棱柱缠绕一圈，运动时间为t＝ 3× 2π×112π×?1－0.3?12π×?1－0.6? s＋× s＋× s＝0.7π s，选项C正确；细线断裂之23232 前，小球做圆周运动的半径变为0.1 m，则小球运动的位移大小为0.9 m，选项D正确．故本题答案为B. 4． (2013·广东·14)如图4，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行 星做匀速圆周运动，下列说法正确的是 ( ) 图4 A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的运行周期比乙的小 C．甲的角速度比乙的大 D．甲的线速度比乙的大 答案 A vMm4π2GM2 解析 由万有引力提供向心力得G2＝m＝mωr＝ma＝m2r，变形得：a＝2，v rrTr＝ GM ，ω＝ r GM ，T＝2π r3r3，只有周期T和M成减函数关系，而a、v、ωGM 2 和M成增函数关系，故选A. 5． 2013年2月15日中午12时30分左右，俄罗斯车里雅宾斯克州发生天体坠落事件．如 图5所示，一块陨石从外太空飞向地球，到A点刚好进入大气层，由于受地球引力和大气层空气阻力的作用，轨道半径渐渐变小，则下列说法中正确的是 ( ) 图5 A．陨石正减速飞向A处 B．陨石绕地球运转时角速度渐渐变小 C．陨石绕地球运转时速度渐渐变大 D．进入大气层陨石的机械能渐渐变大 答案 C 解析 由于万有引力做功，陨石正加速飞向A处，选项A错误．陨石绕地球运转时，因轨道半径渐渐变小，则角速度渐渐增大，速度渐渐变大，选项B错误，C正确．进入大气层后，由于受到空气阻力的作用，陨石的机械能渐渐变小，选项D错误． 二、多项选择题 6．(2013·新课标Ⅱ·21)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图6，某公路急转弯处是 一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处 ( ) 图6 A．路面外侧高内侧低 B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动 C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动 D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小 答案 AC 解析 当汽车行驶的速度为vc时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高内侧低，选项A正确．当速度稍大于vc时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确．同样，速度稍小于vc时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误．vc的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与地面的粗糙程度无关，D错误． 7． 某同学学习了天体运动的知识后，假想宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系．如图7 所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动．如果两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F.则 ( ) 图7 A．每颗小星受到的万有引力为(3＋9)F B．每颗小星受到的万有引力为(3 ＋9)F 2 C．母星的质量是每颗小星质量的3倍 D．母星的质量是每颗小星质量的33倍 答案 AC 解析 每颗小星受到的万有引力为2Fcos 30°＋9F＝(3＋9)F，选项A正确，选项B错m2误；设正三角形的边长为l，由万有引力定律和题意知G＝9G2，解得M＝ 2l2?lcos 30°?3 Mm 3m，选项C正确，选项D错误． 8． 地球自转正在逐渐变慢，据推测10亿年后地球的自转周期约为31 h．若那时发射一颗 地球的同步卫星W2，与目前地球的某颗同步卫星W1相比，以下说法正确的是(假设万有引力常量、地球的质量、半径均不变) A．离地面的高度h2>h1 B．向心加速度a2>a1 C．线速度v2 3GMT2Mm4π2 解析 由万有引力提供向心力可知，G＝m2(R＋h)，h＝ －R，由于 T4π2?R＋h?2Mm 周期增大，则h增大，选项A正确；由G＝ma可知，向心加速度减小，选项B ?R＋h?2v2Mm 错误；由线速度公式G＝m可知，线速度减小，选项C正确，选项D错误． ?R＋h?2?R＋h?9． 我国自主研发的“北斗卫星导航系统”是由多颗卫星组成的，其中有5颗地球同步卫 星．在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，如图8所示，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则 ( ) ( ) 图8 A．该卫星的发射速度必定大于11.2 km/s B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度小于7.9 km/s C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的动能小于在Q点的动能 D．在轨道Ⅱ上的运行周期大于在轨道Ⅰ上的运行周期 答案 BD 解析 人造卫星的最小发射速度和最大环绕速度均为7.9 km/s，选项A错误，选项B正确；由v＝ GM 知r越小v越大，动能也就越大，所以卫星在P点的动能大于在r 4π2r3知r越大T越大，则卫星在轨道Ⅱ上的周期GM Q点的动能，选项C错误；由T＝ 大于在轨道Ⅰ上的周期，选项D正确． 三、非选择题 10．如图9所示，质量M＝2 kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m＝1 kg的小球通过