的。求这批产品被认为是合格的概率。
一．随机事件与概率
解：按题意，每批100个产品中应有5个次品，95个合格品．设事
件A表示检查的50个产品中次品不多于1个，它可以看作两个互不相容１．五卷文集按任意次序排列到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端事件之和：
A?A0?A1
的概率为 （
110） 其中A0表示检查的50个产品中没有次品， 而A1表示有1个次品．因为 ：
2. 若A?B，则A?B是 （B） 50
P(AC950)?C50?0.028
1003. 事件Ａ、Ｂ、Ｃ至少有一个不发生可表示为 （A?B?C ） P(AC1495C951)?
C50?0.153 100所以P(A)?P(A0)?P(A1)?0.181
4. 设A,B为两个独立事件，P(A)?0.7，0?P(B)?1，求P(A|B)
（ 0.3 ）
8．设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，5． 某射手射击时，中靶的概率为3今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的4，若射击直到中靶为止，求射击次
概率。
数为３的概率？（ (123解 A?{抽到的一人为男人}，B?{抽到的一人为4)?4 ）
色盲者}，则
5．设A?B，P(A)?0.2，P(B)?0.3，求P(AB). P?A??35，P?BA??512解：P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(A)?0.1
100?20，P?A??5，6．某射手每次射击击中目标的概率为p，连续向同一目标射击，直到某P?BA??25110000?400
一次击中目标为止，求射击次数X的分布律
于是，由全概率公式，有
解 在进行射击之前，无法知道射手在第几次射击时击中目标，因此射击次数X是离散型随机变量，显然，X的可能取值为1,2,?，即一P?B??P?A?P?BA??P?A?P?BA??3121315?20?5?400?1000。 切正整数，而：
P{X?k}?(1?p)k?1p k?1,2,? 上式即为X的分布律。
9.（1）已知P(A)?0.5，P(B)?0.6，P(B|A)?0.8，求P(A?B)。7. 某工厂生产的100个产品中有5件次品, 检查产品质量时, 在产品中（2）P(A)?0.4，P(B)?0.5，P(A|B)?0.8，求P(A|B)。 取一半来检查, 如果发现次品不多于一个, 则这批产品可以认为是合格
解 （1）利用加法公式、乘法公式计算事件概率
P(AB)?P(B|A)?P(A)?0.4，P(A?B)?0.5?0.6?0.4?0.7。
（
2
）
易
知
P(A)?0.6，
P(B)?0.5解 由
，由
?????f(x)dx??1AxdxA0?2?1； P(AB)?P(B)P(AB)?0.4?P(A)?P(AB)，可得P(AB)?0.2，
可得A?2。 从而
?P(A|B)?P(AB)0.2３．随机变量X的概率密度为P(B)?0.5?0.4。
f(x)??C?1?x２x?1 求C。 （
1?
?0其它π） 10. 某地有甲乙丙三种报纸，25%读甲报，20%读乙报，16%读丙报，10%
兼读甲乙两报，5%读甲丙两报，4%读乙丙两报，2%读甲乙丙三报，求： （1）只读甲报所占比例；
4．若X~N(2,?2)，且P?2?X?4??0.3，求P?X?0?。
（2）至少读一种报纸所占比例。
解 0.3=解 设读甲、乙、丙三种报纸的事件分别为：A,B,C，由已知条件，有
P?2?X?4?????4?2?????????2?2?????????2??????0.5
P(A)?0.25，P(B)?0.20，P(C)?0.16，P(AB)?0.10，
P(AC)?0.05，P(BC)?0.04，P(ABC)?0.02，从而有
故 ???2??????0.8，P?X?0??????2??????1????2??????0.2。
（1）P(ABC)?P(A(B?C))?P(A)?P(A(B?C))
?P(A)??P(AB?AC)??P(A)??P(AB)?P(AC)?P(ABC)?
的概率密度为：f(x)???e?xx?0?0.25??0.10?0.05?0.02?5．随机变量X?0.12
?0x?0，求随机变量
（2）
Y?2X?1的概率密度。
P(A?B?C)解 设y?2x?1，则y??2?0，反函数x?y?1?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) 2，于是Y?2X?1?0.25?0.20?0.16??0.1?0.05?0.04??0.02?0.44.
概率密度为：
?二．一维随机变量
f(y)???y?1?11?y?1?f????e2y?1Y，故
??2?22设随机变量X的分布函数为F(x)???1?(1?x)e?x1. x?0?0y?1?0x?0，求
??1P{X?1}。 （1?2e?1）
f?1e?y2Y(y)??y?1。 ?2?02．已知随机变量X的密度为f(x)???Ax,0?x?1y?1?0,其它，求A。
6．设随机变量X在[1,4]上服从均匀分布，现在对X进行3次独立试验，则至少有2次观察值大于2的概率为多少？
X -1 0 1 2
?解 X的概率密度为：f(x)??1?31?x?4。一次试验观察值大
1111??0其他pk
8842于2的概率为：
P{X?2}??41求 Y = X 2
的分布律. 23dx?23 解
设3次独立试验观察值大于2的次数为Y，则Y~B??3,2??3??，从而： ?2?213P{X?2}?C2203??3???3?C3?2?3??3???27。
7．设随机变量X~N(2,σ2)，且P(2?X?4)?0.3，求P(X?0)。 解 根据正态分布的密度函数关于均值点的对称性，有 P(X?0)?P(X?2)?P(0?X?2)
?0.5?P(2?X?4)?0.5?P(2?X?4)
?0.5?0.3?0.2
8．如果函数f(x)?Ae?x三．二维随机变量
，???x???，为某个随机变量的概率密
度，求A。 1．若(?,?)的联合概率密度为：f(x,y)???1?(x?y)?ke,x?0,y?0解 因为
??????f(x)dx?1，而
?0 , 其它 ???x0x???x（1）确定常数k；（2）求P(??2,??2)。 ??Ae?dx????Aedx??0Aedx?A?A?2A。
解 （1）1?1??e?xdx??e?ydy?1，故k?故A?1k?0?0k1； 2。 （
2
）
P{??2,??2}??2?2?(x,y)dxdy??2e?xdx?29. 已知 X 的概率分布为 e?ydy?(1?e?2)2
????00
解 串联的两个元件至少一个损坏时，系统将停止工作，所求概率为， 2．设随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)???10?x?1,0?y?1?0其他，
p?P(??1000)?P(??1000)?P(??1000,??1000)
求概率P{X?0.5,Y?0.6}。
?F(1000)?F(1000)?[F(1000)]2解
?1?e?1?1?e?1?(1?e?1)2?1?e?2
0.60.50.60.5
P{X?0.5,Y?0.6}???????f(x,y)dxdy??0dy?0dx?0.3
四．随机变量的数字特征
3．设二维随机变量(?,?)的分布函数
1．设随机变量X服从参数为?的泊松（Poisson）分布，且已知
F?x,y???A?Barctanx??A?Barctany???1E(X??1)(X?2)?1，求? 。 ?1?2?A?Barctanx??A?Barctan解 y?因??EX?DX?λ，有
1?E(X2?3X?2)?DX?(EX)2?3??2??2?2??2，从而
(1)求常数A,B；(2)求P???0,??0?。
解 (1)令F(??,??)?(A????1。
2?1?2? 2B)??1?2(A?2B)???1
2．设随机变量X服从参数为 1 的指数分布，求E(X?e?2X)。 F(??,??)?(A??2B)2???1?1???2X???3x?2(A?2B)2???0，得解 Ee??0e?2xe?xdx?????03edx??/3?1/3 A?11从而2,B??
E(X?e?2X)?1?13?43。 (2)P???0,??0??1?P(??0)?P(??0)?P???0,??0?
3．设随机变量X和Y的相关系数为0.5，EX?EY?0，
?1?F(0,??)?F(??,0)?F(0,0)?1?1192?2?32?932 EX2?EY2?2，求E(X?Y)2。
解 利用期望与相关系数的公式进行计算即可。因为
E(X?Y)2=EX2?2E(XY)?EY2?4?2?cov(X,Y)?EX?EY?
4. 两个相互独立的元件串联成一系统，元件的寿命分别为?,?，其分布函数均为
?4?2?XY?DX?DY?4?2?0.5?2?6
?说明：本题的核心是逆向思维，利用公式
?x F?x????1?e1000,x?0E(XY)?cov(X,Y)?EX?EY。 ??0,x?0 求系统的寿命短于1000小时的概率。
4．设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为6和3，求随机变量
2X?3Y的方差。
解 由方差的性质，得 D(2X?3Y)?4DX?9DY?24?27?51。
解 因为X1,X2?,,X9独立同分布，Xk~N(0,1)，所以?X5．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??0x?0?x30?x?1，则求?S/10?t(1?0?1t)，( 9)?1x?1EX。
2．设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且Xi~N(0,1),i?1,2,?,n则
X2?X22???X21?X2n服从什么分布。
解 随机变量X的概率密度为：f(x)?F?(x)???3x20?x?1?0其他，
解：χ2(n)
EX????2??xf(x)dx??13x3dx，故?13x3dx＝３／４。
3．设总体X~N(2,42)，XX?001,X2,?,Xn为X的样本，则
4n服从
什么分布。
5．?设随机变量X的方差为2，求根据切比雪夫不等式有估计
PX?E(X)?2?。
解 因X~N(2,42)，所以X~N??2,4??n??，标准化后，有解 由切比雪夫不等式，有P?X?E(X)?2??D(X)X?222?24?12。
4n~N(0,1)，故选择X?24n~N(0,1) 6．设随机变量X和Y的数学期望都是2?，方差分别为?1和4，而相关系
数??0.5，则根据切比雪夫不等式求PX?Y?6。 4．设随机变量Ｘ～Ｆ（ｍ，ｎ）则1解 E(X?Y)?0，关键要求X?Y的方差。
X服从什么分布。 D(X?Y)?cov(X?Y,X?Y)?DX?2cov(X,Y)?DY 解 F(n,m)
cov(X,Y)??DX?DY?0.51?4?1
D(X?Y)?1?2?4?3，
5．设总体X~N(μ,32),X1,X2,?,Xn为取自总体的一个样本，X为样本均值，要使E(X??)2于是P?X?Y?6??31?0.1成立，则样本容量n至少应取多大？ 62?12。
解 E(X?μ)2?DX?1
nDX?1n32?0.1，得n?90。 六七章．数理统计
6．设总体X的概率密度为：f(x)???(α?1)xα0?x?11．样本(X1,X2,?,X9)取自总体X~N(0,1)，X及S分别表示样本其它，其中
?0均值和均方差，则Xα??1，求α的极大似然估计。
S/10?服从什么分布？
nn解：似然函数为：L(α)??[(α?1)xα]?n
i(1?α)i??xαi 1i?1
nlnL(α)?nln(α?1)??αlnxi
i?1?lnL(α)n?α?nα?1??lnxi?0 i?1得极大似然估计：α???nn?1。
?lnxii?1
7．设X服从参数为λ的指数分布
φ（λ）?λe?λxx?0λ?0
x1,x2,?,xn是来自总体X的样本，求λ的极大似然估计。
nn?λ解：似然函数为L(x1,x2,?,xn;λ)?λn?e?λxi?λne?xii?1于是
i?1nlnL?nlnλ?λ?xi
i?1dlnLnn 令
n1dλ?λ??xi?0得λ??i?1?n??xx，因此，λ?1x为λ的ii?1极大似然估计。