数学选修1-1复习知识提纲
（一）常用逻辑用语： 1.命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题；判断为假的语句叫做假命题； 2.四种命题：
结论：互为逆否的两个命题是等价的。原命题与逆否命题真假等价，逆命题与否命题真假等价。 2.充分条件与必要条件：
①若p?q，但q?p，则p是q的充分不必要条件；(集合：pq，)。 ②若p?q，但q?p，则p是q的必要不充分条件；（集合：若qp，）。 ③若p?q，且q?p，则p是q的充要条件（或说q是p的充要条件），记作p?q；（集合：p?q）。 ④若p?q，且q?p，则p是q的既不充分也不必要条件；（集合：p?q，且q?p）。 注意：证明p是q的充要条件需分证明充分性（p?q）和必要性（q?p）两步。 3. 简单逻辑联结词：且、或、非；
复合命题三种形式：p且q(p?q)，p或q(p?q)，非p(p)
真假判断：p、q同真，p?q真，其余均为假；p、q同假，p?q假，其余均为真；p与p的真假相反 4.全称量词与存在量词：
全称命题p：?x?M,p(x), 它的否定p：?x0?M,p(x0) 特称命题p：?x0?M,p(x0), 它的否定p：?x?M,p(x) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。 （二）圆锥曲线与方程： 1．椭圆：
⑴ 椭圆方程的第一定义：
??????PF1?PF2?2a?F1F2方程为椭圆,PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹,PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段⑵ 椭圆的标准方程：
22yxy2x2① 中心在原点，焦点在x轴上：?；② 中心在原点，焦点在轴上：y?1(a?b?0)?2?1(a?b?0). 222abab
③ 一般方程：Ax2?By2?1(A?0,B?0,且A?B).
顶点：x轴，长轴长2a，短轴长2b.焦点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0). 对称轴：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c). y轴；焦距：F1F2ca2a2?2c,c?a?b.准线：x??或y??. 离心率：e?(0?e?1).
cca22⑶ 焦半径：、
x2y2 ① 设P(x0,y0)为椭圆2?2?1(a?b?0)上的一点，F1,F2为左、右焦点，
ab则 PF1?a?ex0，PF2?a?ex0 （左加右减）
x2y2② 设P(x0,y0)为椭圆2?2?1(a?b?0)上的一点，F1,F2为上、下焦点，
ba 8
则 PF1?a?ey0，PF2?a?ey0 （下加上减）
2b2⑷ 通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经，d?2。共离心率的椭圆系方程：
ax2y2c的离心率都是 ，方程称共离心率的椭圆系方程。 ??t(t?0,a?b?0)e?aa2b2x2y2?⑸ 若点P在椭圆2?2?1上，F1,F2为焦点，若?F1PF2??，则?PF1F2的面积为b2tan. 若是
2ab双曲线，则面积为b2?cot2．双曲线：
⑴ 双曲线的第一定义：
?2.
PF1?PF2?2a?F1F2方程为双曲线PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹
PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2的一个端点的一条射线⑵ 双曲线标准方程：
x2y2y2x222Ax?By?1(AB?0). . 一般方程：??1(a,b?0),??1(a,b?0)2222ababa2① 焦点在x轴上： 顶点：(a,0),(?a,0). 焦点：(c,0),(?c,0). 准线方程x??.
cx2y2xy 渐近线方程：??0或2?2?0
ababa2② 焦点在y轴上：顶点：(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). 准线方程：y??.
cy2x2yx渐近线方程：??0或2?2?0，
abab2a2c（两准线的距离）； x,y轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. 离心率e?. 准线距cac2b2222通径. 参数关系c?a?b,e?.
aa⑶ 焦半径公式：对于双曲线方程
x2a2?y2b2“长加短减”原则： ?1（F1,F2为左、右焦点或上、下焦点）
MF1?ex0?aMF2?ex0?a 构成满足MF1?MF2?2a
M?F1??ex0?aM?F2??ex0?a▲
M'y▲yF1MM（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） F1xF2M'xMF1?ey0?aMF2?ey0?a
?M?F1??ey0?a?M?F2??ey0?a 9
F2⑷ 等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.
⑸ 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲
x2y2x2y2x2y2线.2?2??与2?2???互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2?2?0.
ababab⑹ 共渐近线的双曲线系方程：
x2a2?y2b2??(??0)的渐近线方程为
x2a2?y2b2如果双曲线的渐近线?0,因此，
x2y2xy为??0时，它的双曲线方程可设为2?2??(??0). abab⑺ 直线与双曲线的位置关系：
3．抛物线：设p?0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 y2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py ▲x2??2py ▲yyyyxOxOxOOx 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦半径 pF(,0) 2px?? 2x?0,y?R F(?p,0) 2px? 2x?0,y?R pF(0,) 2py?? 2x?R,y?0 F(0,?y?p) 2 p 2x?R,y?0 x轴 （0，0） e?1 y轴 PF?2p?x1 2PF?p?x1 2PF?p?y1 2PF?p?y1 2注：① y?2px(p?0)则焦点半径PF?x?pp2；x?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?。 22② 通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的。
4．圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离之比是一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线。当0?e?1时，轨迹为椭圆；当e?1时，轨迹为双曲线；当e?1时，轨迹为抛物线。 其中，点F是它的焦点，直线l是它的准线，比值e是它的离心率。 （三）导数及其应用：
1. 导数的定义：函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率limf(x0??x)?f(x0)?y，称为函数?lim?x?0?x?x?0?xf(x0??x)?f(x0)?y. ?lim?x?0?x?x?0?xy?f(x)在x?x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x?x0，即f'(x0)=lim注：①?x是增量，也称“改变量”，?x可正，可负，但不为零.
2. 导数的几何意义：
函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y?f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率，即曲线
y?f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y?y0?f'(x0)(x?x0).
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3.基本初等函数的导数公式：
C'?0（C为常数） (sinx)'?cosx (xn)'?nxn?1（n?R） (cosx)'??sinx (ax)'?axlna(a?0) (ex)'?ex
(logax)'?11(a?0,a?1) (lnx)'?
xxlnaf'(x)?g'(x) ?f(x)?g(x)??f'(x)g(x)?f(x)g'(x)
'4.导数运算法则：
?f(x)?g(x)?'?'?f(x)?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)(g(x)?0) 注：f(x)、g(x)必须是可导函数. ?g(x)??2?g(x)???5. 函数的单调性与导数：
在某个区间?a,b?内，如果f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)?0，那么
''函数y?f(x)在这个区间内单调递减.
注：①如果函数y?f(x)在区间I内恒有f(x)?0，则y?f(x)为常数.
②f(x)?0是f（x）递增的充分条件不必要条件，如y?x在(??,??)上并不是都有f(x)?0，有一个点例外，即x?0时f(x)?0，同样f(x)?0是f(x)递减的充分不必要条件.
③一般地，如果f(x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f(x)在该区间上仍就是单调增加（或单调减少）的.
6. 函数的极值与导数：
求函数y?f(x)极值的方法：解方程f(x)?0。当f(x)?0时： ①如果在x0附近的左侧f(x)?0，右侧f(x)?0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f(x)?0，右侧f(x)?0，那么f(x0)是极小值.
注意：①：导数为0的点不一定是函数的极值点，但是若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f(x0)?0. 函数不可导的点也可能是函数的极值点。极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小。
例如：①函数y?f(x)?x，x?0使f(x)?0，但x?0不是极值点.
②函数y?f(x)?|x|，在点x?0处不可导，但点x?0是函数的极小值点. 7. 函数的最大（小）值与导数：
求函数y?f(x)在?a,b?的最大值与最小值的步骤如下：⑴求函数y?f(x)在?a,b?内的极值； ⑵将函数y?f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的的一个是最大值，最小的一个是最小值。
3''''3''''''''' 11