但的均值和协方差的高斯随机领域了。现有的高斯领域（如它的均值和协方差的定义）然后条件与给定的数据（对应于一个简单的逆问题的解决方案）。
~~通过这种方式,一个后高斯场的定义意味着Mmean(x)和协方差CM(X,X?)可以表达(有关详细信息,请参阅文本)。而不是直接成为这个后验均值和感兴趣协方差,它是更好的生成一些随机抽样后的高斯随机的,我们知道均值和协方差。9这些随机实现显示在右边的图。所有这些实现满足50初始数据值。实际实现的50个数据值提取可能类似任何一种实现(事实上,这是一个在左边图2.4)。这九面板传达一个清晰的概念变化的解决问题的办法.
我们得到的数据，如，K值{m(x1),m(x2),?,m(xk)}的未知的实现 m(x)在点
{x1,x2,?,xk)如果这些值被假定为是准确众所周知，我们可以通过从现有的随机场后的随机场只是用条件概率的概念。如果值是唯一已知的一些不确定性，这后的随机场可以得到逆问题的设置，基本上是使用第三方程（1.106）和第二组（1.107）（见135页的例5.25这个问题的一个显式）。在任何情况下，我们结
~(x)和协束了一个后验高斯。随机领域，其中我们可以表达的是什么意思？mmean~方差CM(X,X?)。但是，再一次，而不是代表均值和分析协方差，最好是产生随机字段，可以做如下的实现。采取随机一个点xa的在空间。在这一点上，我们
~~(x)和方差C?有一个均值高斯随机变量平均mmeanM(X,X)。这样，就可以生成随机实现这个一维随机变量的这将使一些值m(xa)。我们开始该问题与在k个点给出的领域的值。我们现在有的值在领域k?1个点给出。这个问题就可以使用第
k?1个点改写，和同样的方法可以用来随机生成在某个点xb一个新值，并依此
类推，直到我们实现了随机场在尽可能多的积分值，我们不妨。图2.5给出了该
算法的二维空间的实际实施，开始，在50分中给出的领域的值。
从上面的例子中，读者应记，反问题的解决方案，作为一个概率分布，
是从来没有的一个图像，而是一组图像，样品后验概率密度?M(m)。策划了“最佳形象”的普遍做法或“平均形象”应该被抛弃，即使伴随着一定的误差分析和分辨率。例如，使用最小二乘法时，制订的问题在该实施例中所述，所谓的溶液是后的均值高斯分布，即，在图2.5的左栏中间的平滑图像。这是不该解决方案;当然，它是所有可能的解决方案的平均值（因此其平滑性）。展望这意味着提供了比看电影变现的信息要少得多。记即，通过构造中，每个实现中的捕获的基本随机波动在实际的现场，从该数据中提取（左侧图2.4）。
对于这样的影片（在地球物理上下文）的生成的另一示例，请参见科伦等。 （1991）当随机模型的这样一个（足够大）集合可用，我们也可以回答很有意思的问题。例如，在一个构造模型，有人会问，在哪深度是地下结构？要回答这个问题，我们可以深度的直方图给定的地质构造在随机模型的集合，该直方图是回答这个问题。什么是具有围绕一给定的低速区域的概率深度是多少？模型相对于总呈现这样的低速区域中的数的比率集合中的车型编号给出了答案（如果模型的集合是大够了）。实际上，这就是必须提出：看大量的随机在产生模型（第一，在现有的分布特征，然后，将后验分布的）为了直观地领会的概率分布的基本属性，接着通过对所有感兴趣的事件的概率的计算。有时，它仍然可能需要估计某些时刻（均值，方差，等）的分布。当然，它们也可以使用样品进行评价。相关公式给出的脚注附录6.9给出了蒙特卡洛的一些细节数值积分的蒙特卡罗方法。 这种抽样方法被建议在所有的例子，（连续空间实现）它不适于使用一般的反问题，它包含考虑一维情况和边缘概率分布，除了非常简单的问题，通常是不可能的，在数据与模型参数之间是线性相关时，我们必须采取简单有效的，但是对于一般的方法，像那些在Metropolis算法上的，在最后一章也有描述。
2.3 取样方法
2.3.1 反演方法
考虑一个概率密度函数f(x)取决于只有一个变量（标量）。这可能发生的时候，我们真的有一个单一的随机变量或，更经常的，当一个多维流形我们考虑沿线路条件分布（沿x是一个参数）。反演方法包括引入的累积概率 y?F(x)??xxmidx?f(x?) (2.4)
n它的值在区间?0,1?，和反函数x?F?1(y).这是很容易看到的，如果一个随机产生的y值，在恒定的概率密度区间[ 0，1 ]，然后值x?F?1(y)的概率密度的随机样本f(x)提供的函数是可用的，假设F?1是存在的。该方法是简单和有效的。
例2.3 设y1,y2,?与恒定概率的随机变量的样本密度在区间[0，1]，并让erf?1是数字逆误差函数erf?1(y1)，erf?1(y2)，? 然后正态分布的，均值为零，方差为（见图2.6）。
图2.6。使用反转方法，以产生二维的样品高斯概率密度.
2.3.2抑制方法
抑制法开始通过产生样本为x1,x2,?均匀概率密度?(x)中，这通常是一个简单的问题。然后，每个样品被提交到拒绝的可能性，该样值xk被接受的概率而采取等于
f(xk)?(xk) (2.5)
?f??max P1?其中，?f??max表示的所有值的f(x)?(x)的最大值或任何较大数目（数字越大，越有效率的方法）。它是那么容易证明，任何接受点的概率密度函数f(x)的一个样本。
这种方法在一维或二维（图2.1效果相当好使用消除方法中生成），并可能在原则上适用于任何维数。但是，正如已经提到的，大尺寸的空间趋向于是很空的，这个方法接受一个点的机会可能会大大低多维空间的工作时。 2.3.3 连续实现
在该方法中，1采用这样的性质：一个一般的n维概率密度fn(m1,m2,?,mn)总是可以被分解为一维边缘的产物和一系列一维条件句（见附录6.10）：
fn(m1,m2,?,mn)?f1?m1?f11m2m1f12m3m1,m2?f1n?1mnm1,?,mn?1 (2.6)
??????
所有这些边缘和条件概率密度被包含在原始n维联合概率密fn(m1,m2,?,mn)，并可以，至少在原则上，从它使用积分进行评价。假设他们都是已知的，让我们来看看如何将可以产生n维样本。
一开始产生用于可变m1一个（一维）的样品，使用一维边缘为f1(m1)，得到
1的值M0。解决手边这个值，之一生成了一个（一维）为变量平方米样品m2，使
用条件为f11?mm?，得到值M21020。然后，1产生用于可变m3的（一维）的样品，
123,m0使用该有条件的f12m3m0，得到的值M0等，直到有产生样本为变量mn，1n?1,?,m0,得到的使用条件F1| N-1（MN| M10，。 。 。 ，将mn10）f1n?1mnm0????n12n值M0。在这种方式中，一个点{m0,m0,?,m0}产生其为原始的样
fn(m1,m2,?,mn)。 2.3.4 Gibbs抽样
所谓Gibbs抽样（格曼和格曼，1984）对应于完成随机走在n维参数流形，这是非常类似于一个Metropolis随机游动，不同的是不排斥被使用（如下面讨论的，这样的好处是更虚拟实比）。首先，我们必须假定参数空间是一个线性空间，使方向中的一个给定的点的概念是有意义的。
kkk12n 让f(x1,x2,?,xn)是期待的概率密度样本，x?{xk,xk,?xk}是最后的点，
是最后的点参观。 定义穿过当前点XK在随机线性参数空间。沿着这条线之一具有一维（条件）概率密度。一个样品，然后沿着该一维的产生概率分布，给人一种全新的点xk?1。它可以证明迭代这个过程实际上产生了一系列的联合概率
12n分布样本的f(xk,xk,?xk)有关。
12n 当一个分析，显式表达可用于概率密度f(xk,xk,?xk)，这种方效果好，效
率高。在解决反问题，我们想在模型参数空间的后验概率密度?M(m)，并且除非在非常简单的问题，?M中的一个的值的评价给定的M点需要大量的计算。 Gibbs抽样的话，要求方法，我们知道沿着给定方向上的条件概率密度，是不是立即满足。我从来都没有相信，在复杂的问题，数值估计沿给定方向上的条
件概率密度，再加上一个精确?nonrejection?生成沿该方向的样品，给出更好的结果，Metropolis（拒绝）方法将在下一节介绍。
2.3.5Metropolis算法
（或Metropolis?Hastings）算法发展由Metropolis和乌拉姆（1949Metropolis年），Metropolis等。（1953），和黑斯廷斯（1970）。这是马尔可夫链蒙特卡罗?MCMC?方法，即，它是随机的（蒙特卡罗），并具有无记忆，在这个意义上每一步只依赖于前面的步骤（马尔可夫链）。
其基本思想是要执行一个随机游动，一种布朗运动的，即如果未修饰的，将一些样品初始概率分布，那么，使用概率规则修改散步（提出一些动作被接受，有些被拒绝），在这样的这样修改后的随机游动的样品分发目标。虽然这是很容易创造一个能够满足目标概率规则，Metropolis规则是最有效的（它接受提议的动作的最大值，减少了计算的要求）。我按照这里由Mosegaard和Tarantola提出的Metropolis算法的演示文稿（2002）。
考虑下面的问题。我们有两个概率密度函数f(x)和g(x)的其均匀限在一起（见第1章）?(x)。我们有一个算法，该算法能够生成样本f(x)的。我们应该如何修改算法，以便获得这两个概率密度的结合样本。 h(x)?k
f(x)g(x) (2.7)
?(x)所使用的标准将不依赖于概率密个g(x)的值，但对相关的似然函数的值（见公式（1.31）），所以让我们明确的介绍吧：
?(x)?g(x)?(x) (2.8) 根据假设，一些随机的规则定义一个随机游动的样本的概率密度函数
f(x)。在给定的步骤，随机漫步者是在点xi和的应用规则将导致过渡到点xj。
当所有这些建议的过渡xi?xj被接受，随机游动者将采样的概率密度函数