动点产生的线段和差问题
例1 2013年天津市中考第25题
在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA． （1）如图1，求点E的坐标；
（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．
①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2
取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．
请打开超级画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．
思路点拨
1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m． 2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．
3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．
满分解答
（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA． 所以
AOBO24．因此?． ?OE2OEOA解得OE＝1．所以E(0,1)．
（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2． 在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2． 所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．
所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．
此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)． ②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为(,1)．
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图3 图4
考点伸展
第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′， 所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．
当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．
在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E′′＝53． 当A′、B、E′′三点共线时，解得m?
A'OA'O'm2．所以?． ?47BOE''O'88．此时E'(,1)．
77例2 2012年滨州市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、
B(2, 0)三点．
（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12滨州24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动（如图2），可以体验到，当M落在线段AB上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时AM＋OM最小（如图3）．
请打开超级画板文件名“12滨州24”，拖动点M， M落在线段AB上时， AM＋OM最小．
答案 （1）y??1x2?x。 （2）AM＋OM的最小值为422．
图2 图3
例3 2012年山西省中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；
（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12山西26”，拖动点P在x轴上运动，可以体验到，点Q有3个时刻可以落在抛物线上．拖动点M在直线AC上运动，可以体验到，当M落在B′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小．
思路点拨
1．第（2）题探究平行四边形，按照AP为边或者对角线分两种情况讨论．
2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B关于“河流”AC的对称点B′，那么M落在B′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小．
满分解答
（1）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)2＋4， 得A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)．
直线AC的解析式是y＝3x＋3．
（2）Q1(2, 3)，Q2(1?7,?3)，Q3(1?7,?3)．
（3）设点B关于直线AC的对称点为B′，联结BB′交AC于F． 联结B′D，B′D与交AC的交点就是要探求的点M． 作B′E⊥x轴于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．
AFBFAB12在Rt△BAF中，，AB＝4，所以BF?． ??1310101236B'EBEBB'24，BB'?2BF?，所以B'E?，BE?． ??5513101036212112所以OE?BE?OB??3?．所以点B′的坐标为(?,)．
5555因为点M在直线y＝3x＋3上，设点M的坐标为(x, 3x＋3)．
在Rt△BB′E中，
12123x?3?DD'MM'yD?yB'yM?yB'5?5． 由，得．所以??2121B'D'B'M'xD?xB'xM?xB'1?x?554?解得x?99132．所以点M的坐标为(,)． 353535
图2 图3
考点伸展
第（2）题的解题思路是这样的：
①如图4，当AP是平行四边形的边时，CQ//AP，所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称，点Q的坐标为(2, 3)．
②如图5，当AP是平行四边形的对角线时，点C、Q分居x轴两侧，C、Q到x轴的距离相等．
解方程－x2＋2x＋3＝－3，得x?1?7．所以点Q的坐标为(1?7,?3)或 (1?7,?3)．
图4 图5