第23章 单元检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2018·武汉元调)下列交通标志中，是中心对称图形的是( D )
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D )
3．时钟上的分针匀速旋转一周需要60 min，则经过20 min，分针旋转了( D ) A．20° B．60° C．90° D．120°
4．如图，将Rt△ABC(其中∠B＝30°，∠C＝90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1
的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于( B )
A．115° B．120° C．125° D．145°
5．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是( C ) A．30° B．60° C．72° D．90°
6．若点P(－m，m－3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则m满足( C ) A．m＞3 B．0＜m≤3 C．m＜0 D．m＜0或m＞3
,第4题图) ,第5题图) ,
第7题图) ,第8题图) ,第9题图)
7．如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′.ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′.已知BC＝4，则E′D′的长为( A )
A．2 B．3 C．4 D．1.5
8．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是( B )
A．① B．② C．③ D．④ 9．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为( C )
A．22 B.3
C.3－1 D．1 2
1
10．把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是( A )
A．62 B．6
C．32 D．3＋32
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．在平面直角坐标系中，点A(a，1)与点B(5，b)关于原点对称，则ab＝__5__． 12．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，3)，把OA绕点O逆时针旋转90°，那么A点旋转后所到点的横坐标是__－3__．
13．已知点A，B关于x轴上的点P(－1，0)成中心对称，若点A的坐标为(1，2)，则点B坐标是__(－3，－2)__．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为__17°__．
,第14题图) ,第15题图)
,第16题图)
15．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝__2__．
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是__7__．
三、解答题(共72分)
17．(8分)如图所示，正方形ABCD的边BC上有一点E，∠DAE的平分线交CD于点F. 求证：AE＝DF＋BE.
【解析】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得△ABF′，则∠3＝∠1，∠AFD＝∠F′，∠ABF′＝∠D，BF′＝DF.∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠AFD＝∠FAB，∠ABF′＝∠D＝90°，∴∠ABF′＋∠ABC＝180°，∴F′，B，C三点共线．∵∠FAB＝∠2＋∠BAE，∴∠AFD＝∠2＋∠BAE.又∵∠DAE的平分线交CD于点F，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠2，∴∠AFD＝∠3＋∠BAE，∴F′＝∠3＋∠BAE.∵∠F′AE＝∠3＋∠BAE，∴∠F′AE＝∠F′，∴AE＝EF′＝BF′＋BE＝DF＋BE.
2
18．(8分)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(3，－3)，C(0，－4)．
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1； (2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2.
,)
【解析】(1)△A1B1C1如图所示．(2)△A2B2C2如图所示．
19．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D 是BC上一点，且AD＝BD.将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE.
(1)求证：AE∥BC；
(2)连接DE，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
【解析】(1)∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠DCA.∵∠BAD＝∠CAE，∴∠CAE＝∠DCA，∴AE∥BC.
(2)∵AD＝BD，AD＝AE，∴AE＝BD.又∵AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形．
20．(8分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(－1，3)，(－4，1)，(－2，1)，先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是(1，2)，再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A1的对应点为点A2.
(1)画出△A1B1C1； (2)画出△A2B2C2；
(3)求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长．
,)
3
【解析】(1)如图，△A1B1C1为所作．(2)如图，△A2B2C2为所作． (3)OA1＝4＋4＝42，点A经过点A1到达A2的路径总长＝5＋1＋
222290×42π
＝26180＋22π.
21．(8分)如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE.
(1)求证：AE＝BD；
(2)若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝42.求CD的长．
【解析】(1)易证△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD.
(2)连接DE.∵CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△DCE是等边三角形．∴∠CDE＝60°，DC＝
DE.∵∠ADC＝30°，∴∠ADC＋∠CDE＝90°.∵AD＝3，BD＝42，∴AE＝BD＝42.∴DE＝23.∴DC＝DE＝23.
22．(10分)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形AOC的顶点A，O都在x轴上，顶点C在第二象限内，△AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是__2__个长度单位；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是__y轴__；△AOC绕原点O顺时针方向旋转得到△DOB，则旋转角度可以是__120__度．
(2)连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数；
【解析】(2)∵△AOC和△DOB是能够重合的等边三角形，∴AO＝DO，∠AOC＝∠COD＝60°，∴OE⊥AD，∴∠AEO＝90°.
23．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，连接BE，CF相交于点D.
(1)求证：BE＝CF；
4