e0.018925(365?1)?1f(365)?15?0.125??8.46400.0189251?e
每条2kg的鱼可以获利
wt?qt?f(t)
e0.018925(365?1)?1?2?(15?0.125?)0.0189251?e
?16.928
然后我们将鱼在不同重量情况下的收益情况汇成下表： 鱼的重量（kg） 饲养时间（天） 每平方米收益（元） 每条鱼的收益（元） 0.2 243 -6.4755 -1.2951 1.0 328 3.4707 3.4707 1.5 349 8.4664 12.6995 2.0 365 8.464 16.928 表2 不同时期的鱼的收益情况
求出了每条鱼所能带来的利润与饲料费、单价和生存空间的关系函数之后，我们开始确定养鱼方案。
第一年：
首先是要解决年初的投鱼苗问题，在这里我们采用与模型Ⅰ不同的年初投鱼苗方式，模型Ⅰ采用的是年初一次性按池塘的最大容量投放鱼苗，等到鱼苗全部长到成鱼形态，再全部捕捞上来，一次性全部卖出。模型Ⅱ采用更有效的资源利用方式，为了尽量每天都能获取利润，本模型采用边投边卖的模式来养鱼，由于鱼的生长需要时间，故在前期只能每天连续投一定数量的鱼苗，等第一天投放的鱼苗到可以产生利润准备卖出时，才开始每天边投边卖。
从已知条件我们知道池塘的水面面积为100?100m2，且每条鱼的生存空间必须保持在1kgm2，鱼可以四季生长，每天的生长重量与自重成正比，我们试想让大鱼和小鱼混合成长，尽可能地保持池塘中的鱼尽可能地多，但是也要保证鱼的必要生长空间，即保持总体重量不大于10000kg。又根据我们所求的得收益函数，我们可以知道，当鱼的质量为1.5kg时，该类鱼每平方米的收益率是最大的为8.4664元/每平方米；而当鱼的质量为2kg时，此时每条鱼的利润比其它质量的鱼都大。
所以我们首先考虑了两种年初的投放方案，第一种是当鱼苗成长到1.5kg就可以卖出，首次卖鱼时间为第一年的第350天；第二种是当鱼苗成长到2kg再可以卖出，首次卖鱼时间为第二年的第一天，即第366天。
第一种投放方式：
假设第一年每天投入a1条鱼苗，但不能超过10000公斤，建立函数：
0.018925?10.018925?20.018925?349a?0.002e?a?0.002e?......?a?0.002e?10000 11 1通过等比数列的求和公式：
?e0.018925(1?e0.018925?349)? 0.002a1????10000.0189251?e??
求得最终解
a1?127.0727
第二种投放方式：
假设第一年每天投入a2条鱼苗，但不能超过10000公斤，建立函数：
0.018?9251a2?0.00e2?a022?0.0e0?.0189252?......?a2?e0.0?020.0?1892 510000解得
a2?93.8413
12.6995a1?12.6995?127?1612.8365元
可以卖鱼时，第一种投放方式每天产生利润：
第二种投放方式每天产生利润16.928a2?16.928?93?1574.304元，由于第一种投放方式所产生的利润比第二种多，而且方案一开始卖鱼的时间比第一种方案早，故最终第一年的投放方式选择第一种。
第二年：
第二年我们也是继续采用边投边卖的方式进行养殖，每天投放127条鱼苗，同时卖出127条1.5kg的鱼。
第三年：
由于考虑到一条鱼苗要长到1.5kg所需的时间为349年，所以我们在该年的倒数第349天即第731天开始，不再投放127条鱼苗，因为在此时间段以后，投放这些鱼苗到了第三年末质量达不到1.5kg，养鱼人并不能得到预期的收益。
但是结合图像 我们可以知道在1kg?q?1.5kg范围内的鱼也是能得到利润的，且在该范围内以1kg的鱼利润最大3.4707元/条。一条1kg的鱼所需的生长时间为328天，故同上所述，在该年的倒数第328天即768天不能再投放鱼苗，由于在第731天以前鱼塘的空间已经用了养殖要生长到1.5kg的鱼，所以在第731天到第767天投放一定数量的鱼苗用于养殖到1kg卖出.
该数量的计算为127?1.5?1?190.5，即在第731天到第767天每天投放190
条的鱼苗，到了768天就停止投放鱼苗，以免在养殖期结束之后因为鱼太小而不能盈利，反而形成了额外的费用。因此我们可以推算出，在该年末，即第1075天到第1095天，每天不仅可以卖出127条1.5kg的鱼，还可以同时卖出190条1kg的鱼。
整理以上三年的投鱼和卖鱼方式，整理得到下表： 年段 天数 方案 1-349 每天投放127条鱼苗。 第一年 350-365 第二年 366-730 每天投放127条鱼苗，并且卖出127条1.5kg的鱼。 731-746 747-767 每天投放190条鱼苗，并且卖出127条1.5kg的鱼。 第三年 768-1074 停止投放鱼苗，每天只卖127条1.5kg的鱼。 1075-1095 每天卖127条1.5kg的鱼和190条1kg的鱼。 表3 三年的投鱼和卖鱼方案
根据表格我们可以更直观地得到，三年中每天卖127条1.5kg的鱼的时间一共有764天，每天卖190条1kg的鱼的时间一共有21天，且每条1.5kg的鱼的净利润为12.6995元，每条1kg的鱼的净利润为3.4707元。因此，在模型Ⅱ所提出的方案总收益为
W?12.6995?127?746?3.4707?190?21?1217024.122
建议方案：在所建立的两个模型中，综合各个方面和各个方案的收益总额，我们认为模型Ⅱ为最优方案。在该方案汇总所设计的能获取较大利润为
1217024.122元，采用边投边卖、大鱼小鱼混合的养鱼方式，并尽可能得利用了鱼塘的资源，使得效用和利润都达到了最大化，具有一定的可行性。而模型Ⅰ虽然收益总额不如模型Ⅱ的收益总额多，但是操作起来比较简单方便。
六、模型的评价及改进
一、模型的优点
1.本文是根据原有假设，充分利用所给空间和时间，结合实际情况，忽略部分次要因素，建立解决养鱼问题的数学模型。
2.由池塘中的鱼苗的数量和生长情况，计算出鱼长成成鱼的后所消耗的饲料费。
3.在计算收益函数时考虑了多方面的因素，尤其是加入了空间的成本，使得本文所说的资源有效利用有章可循。
4.模型Ⅱ让大鱼和小鱼混合饲养，能最大限度的有效利用资源，从而实现利润最大化。
5.运用了多种数学知识，如用微分方程和等比数列计算鱼的质量关于时间的函数，又运用了相应的数学软件画出相关图像，使得模型方案更加直观清楚。
6.该模型实用性较强，对现实生活具有一定的指导意义。
7.本文结合实际，在已知条件下较为全面的考虑了资源利用情况。
二、模型的缺点
1.本文忽略了一些次要因素，如在投入鱼苗和捕捞过程中不存在鱼的损失或死亡等情况，使得养鱼者的实际收益与预期收益会发生一定的偏差，从而有蒙受损失和获得额外收益的机会。
2.没有考虑人工成本和季节等的影响，使结果与实际可能有所出入。
七、参考文献
[1]作者：王文波 书名：数学建模及其基础知识详解 出版地：武汉 出版社：武汉大学出版社 出版年：2006年
[2]作者：刘来福 曾文艺 书名：问题解决的数学模型方法 出版地：北京 出版社：北京师范大学出版社 出版年：2002年
[3]作者：王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松 书名：常微分方程 湖南 出版社：国防科技大学出版社 出版年：2003年
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