习 题 8.2 反常积分的收敛判别法
⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；
⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l?0或??时，??(x)dx和
a?????af(x)dx的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[a,??)上恒有0?f(x)?K?(x)，其中K是正常数。则
当??(x)dx收敛时?a????a??f(x)dx也收敛；
当???af(x)dx发散时??(x)dx也发散。
a证 当?a?(x)dx收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
???0 ，?A0?a，?A,A??A0：
????(x)dx?。 ?AKA?于是
?A所以???aA?f(x)dx??AK?(x)dx??，
A?f(x)dx也收敛；
??a当?f(x)dx发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
??0?0，?A0?a，?A,A??A0：?Af(x)dx?K?。
于是
1A??A?(x)dx??AKf(x)dx??0，
所以?a?(x)dx也发散。
（2）设在[a,??)上有f(x)?0,?(x)?0，且lim??????A?A?f(x)???0。则当?af(x)dx发
x????(x)??散时，?a?(x)dx也发散；但当?af(x)dx收敛时，?a?(x)dx可能收敛，也可能发散。
例如f(x)?11f(x)?(x)?(0?p?2)lim?0。显然有 ，，则2px????(x)xx???1
??f(x)dx收敛，而对于?1?(x)dx，则当1?p?2时收敛，当0?p?1时
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发散。
设在[a,??)上有f(x)?0,?(x)?0，且lim????f(x)??则当?af(x)dx收???。
x????(x)??敛时，?a?(x)dx也收敛；但当?af(x)dx发散时，?a?(x)dx可能发散，也可能收敛。
例如f(x)???1x，?(x)???11f(x)(p?)，则lim???。显然有 px???2?(x)x1?p?1时发散，当p?1时收敛。 ?12⒉ 证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2.3）。
f(x)dx发散，而对于?1?(x)dx，则当
证 定理8.2.3（Cauchy判别法） 设在[a,??)?(0,??)上恒有f(x)?0，K是正常数。
??K ⑴ 若f(x)?p，且p?1，则?f(x)dx收敛；
ax??K⑵ 若f(x)?p，且p?1，则?f(x)dx发散。
ax推论（Cauchy判别法的极限形式）设在[a,??)?(0,??)上恒有f(x)?0，且
x???limxpf(x)?l，
则
⑴ 若0?l???，且p?1，则? ⑵ 若0?l???，且p?1，则?1。 px????a??f(x)dx收敛； f(x)dx发散。
a证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数?(x)取为
⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：
⑴
?1??1x?e3?2x?lnx?1dx; ⑵
?1arctanxdx; 31?xxq?dx（）. p,q?R1?xp⑶
?0??1dx;
1?x|sinx| ⑷
?1??解 （1）当x???时，
1x?e3?2x～
13x2，
?lnx?1 279
所以积分?1??1x3?e?2x?lnx?1dx收敛。
（2）当x???时，
arctanx?～， 331?x2xarctanxdx收敛。
11?x3（3）因为当x?0时有
所以积分???11?，
1?xsinx1?x而积分?0??1??1dx发散，所以积分?0dx发散。
1?x|sinx|1?x（4）当x???时，
1xq
～， p?qp
x1?x
所以在p?q?1时，积分?1??xqdx收敛，在其余情况下积分 1?xp?1??xqdx发散。 1?xp????⒋ 证明：对非负函数f(x)，(cpv)???f(x)dx收敛与???f(x)dx收敛是等价的。 证 显然，由???f(x)dx收敛可推出(cpv)???f(x)dx收敛，现证明当f(x)?0时可由(cpv)???f(x)dx收敛推出???f(x)dx收敛。
由于(cpv)???f(x)dx收敛，可知极限
A?????????????limF(A)?limA?????Af(x)dx
A存在而且有限，由Cauchy收敛原理，
???0，?A0?0，?A,A??A0：F(A)?F(A')??，
于是?A,A??A0与?B,B'?A0，成立
?AA?f(x)dx?F(A)?F(A')??与
??0??B'f(x)dx?F(B)?F(B')??，
???B这说明积分?0f(x)dx与???f(x)dx都收敛，所以积分???f(x)dx收敛。 ⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：
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lnlnx??sinx ⑵ sinxdx; ?2lnx?1xpdx（p?R?）;
??sinxarctanx???dx（）; p?R⑶ ?1 ⑷ ?0sin(x2)dx; px ??p(x)msinxdx （pm(x)和qn(x)分别是m和n次多项式， ⑸ ?aqn(x)⑴
??） qn(x)在x?[a,??)范围无零点。
解 （1）因为F(A)??2sinxdx有界，由Dirichlet判别法，积分?2由于
??Alnlnxlnlnx?0，在[2,??)单调，且limx???lnxlnxlnlnxsinxdx收敛； lnxlnlnxlnlnx1lnlnxsinx? sin2x?(1?cos2x)，而积分 lnxlnx2lnx?2??lnlnx??lnlnx??lnlnxdx发散，?2cos2xdx收敛，所以积分?2sinxdx发散，lnxlnxlnx??即积分?2lnlnxsinxdx条件收敛。 lnx（2）当p?1时，
sinxxp?1??1，而?1xpdx收敛，所以当p?1时积分 px?1??sinxdx绝对收敛； xpxdx有界，当0?p?1时，因为F(A)??1sinlimA1在[1,??)单调，且xp??sinx1?0，由Dirichlet判别法，积分?1xpdx收敛；但因为当0?p?1时积x???xp分?1??|sinx|xpdx发散，所以当0?p?1时积分?1??sinxdx条件收敛。 xp（3）当p?1时，
sinxarctanxxp??2xp，而?1??1dx收敛，所以当p?1时积分px???1sinxarctanxdx绝对收敛；
xp当0?p?1时，因为F(A)??1sinxdx有界，
Aarctaxn在[1,??)单调，且px 281
arctanx??sinxarctanx?0dx收敛；但因为当，由Dirichlet判别法，积分?pp1x???xxlim0?p?1时积分?1????arctanxsinxdx发散，所以当0?p?1时积分 px?1sinxarctanxdx条件收敛。 px??（4）令t?x2，?0sin(x2)dx??02t??sintdt，由于?0??sint2tdt条件收敛，可知积分
?0??sin(x2)dx条件收敛。
（5）当n?m?1且x充分大时，有
??pm(x)Ksinx?2，可知当n?m?1时积分qn(x)x?apm(x)sinxdx绝对收敛。 qn(x)当n?m?1时，因为F(A)??1sinxdx有界，且当x充分大时，
Apm(x)单调qn(x)??p(x)pm(x)msinxdx收敛；但由于当且lim?0，由Dirichlet判别法可知?ax???q(x)q(x)nnx???时，
??pm(x)a??pm(x)～，易知?1sinxdx发散，所以当n?m?1时，积xqn(x)qn(x)分?apm(x)sinxdx条件收敛。 qn(x)pm(x)?A，A为非零常数、??或??，易知积分qn(x)当n?m?1时，由lim??x????apm(x)sinxdx发散。 qn(x)⒍ 设f(x)在[a,b]只有一个奇点x?b，证明定理8.2.3'和定理8.2.5?。 定理8.2.3?（Cauchy判别法） 设在[a,b)上恒有f(x)?0，若当x属于b的某个左邻域[b??0,b)时，存在正常数K，使得
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