第六章 数 列
第1讲 数列的概念与简单表示法
一、选择题
579
1．数列{an}：1，－，，－，…的一个通项公式是( )
81524A．an＝(－1)n＋1B．an＝(－1)n－1C．an＝(－1)n＋1D．an＝(－1)n－1
2n－1
(n∈N＋) n2＋n2n＋1
(n∈N＋) n3＋3n2n－1
(n∈N＋) n2＋2n2n＋1
(n∈N＋) n2＋2n3579，－，，－，故选D. 1×32×43×54×6
解析 观察数列{an}各项，可写成：答案 D
2．把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．
则第七个三角形数是( )． A．27
B．28
C．29
D．30
解析 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 答案 B
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝
( )．
A．－16 B．16 C．31 D．32
解析 当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1， 又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)． an∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16. an－1答案 B
4．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 014－5＝( )．
A．2 020×2 012 C．1 010×2 012
B．2 020×2 013 D．1 010×2 013
解析 结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)．所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.故选D. 答案 D
5．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是 ( )． A．103
865
B. 8
825C. 8
D．108
解析 根据题意并结合二次函数的性质可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－29?841?229??
2?n－n?＋3＝－2?n－?2＋3＋，
248????
∴n＝7时，an取得最大值，最大项a7的值为108. 答案 D
6．定义运算“*”，对任意a，b∈R，满足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝c*(ab)1
＋(a*c)＋(c*b)．设数列{an}的通项为an＝n**0，则数列{an}为( )．
nA．等差数列 C．递增数列
B．等比数列 D．递减数列
11?0]1??1???)＝1＋n＋，显然数列{an} 解析 由题意知an＝?n*n?*0＝0]n·＋(n*0)＋
nn???n?1
既不是等差数列也不是等比数列；又函数y＝x＋x在[1，＋∞)上为增函数，
所以数列{an}为递增数列． 答案 C 二、填空题
7．在函数f(x)＝x中，令x＝1,2,3，…，得到一个数列，则这个数列的前5项是________．
答案 1，2，3，2，5
8．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.
an＋1n＋1
解析 由an＝n(an＋1－an)，可得a＝n，
n
n－1n－2anan－1an－2a2n2
则an＝···…··a×××…×1＝1×1＝n，∴a2＝2，anan－1an－2an－3a1n－1n－2n－3＝n. 答案 2 n
9．已知f(x)为偶函数，f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2 013＝________.
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)， ∴f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)． 故f(x)周期为4，
1∴a2 013＝f(2 013)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝2. 1答案 2
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．
解析 ∵Sn＝n－9n，
∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，
2
a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)， ∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8. 答案 8 三、解答题
11．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6. (1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16，即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)， ∴从第7项起各项都是正数．
1
12．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝2. ?1?
(1)求证：?S?成等差数列；
?n?
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0， 11
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以S－＝2，
nSn－1
?1?11
又S＝a＝2，故?S?是首项为2，公差为2的等差数列．
?n?11
11
(2)解 由(1)可得S＝2n，∴Sn＝2n. n
当n≥2时，
n－1－n111
an＝Sn－Sn－1＝2n－＝＝－.
2?n－1?2n?n－1?2n?n－1?1
当n＝1时，a1＝不适合上式．
21??2，n＝1，
故an＝?1
－??2n?n－1?，n≥2.
13．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围． 解 (1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*. (2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1
＋(a－3)2n－2，
当n＝1时，a1＝a不适合上式， ?a，n＝1，故an＝? n－1n－2
?2×3＋?a－3?2，n≥2.an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2 ＝2
n－2?
?3?n－2??12·?2?＋a－3?， ????
?3?n－2
?2?＋a－3≥0?a≥－9. 当n≥2时，an＋1≥an?12·??又a2＝a1＋3>a1.
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)． 14．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数 列{bm}的前m项和Sm.
解 (1)因为{an}是一个等差数列， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28.
设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9. 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)． (2)对m∈N*，若9m＜an＜92m，
则9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1， 故得bm＝92m－1－9m－1. 于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm