2013年初中毕业生学业考试模拟试题
数 学
说明：1.全卷共 4 页，满分120 分，考试时间 100分钟； 2. 答案务必填写在答卷相应位置上，否则无效。
一、选择题（每小题3分，共30分） 1. －
13的倒数是（ ） A －3 B 3 C －113 D 3 2. 下列运算中，正确的是（ ）
A x3?x2?x B (x?y)2?x2?y2 C x2?x3?x6 D (x3)2?x6
3. 用配方法解方程时，方程x2?2x?3?0变形正确的是（ ）
A (x－1)2
=2 B (x－1)2
=4 C (x－1)2
=1 D (x－1)2
=7
4. 函数y?1x?2中，自变量x的取值范围是：（ ）
A x＞ 2 B x ＜2 C x≠ 2 D x ≠ －2 5. 不等式2－3x≥2x－8的非负整数解有：（ ）
A 1 个 B 2个 C 3个 D 4个 6. 在围棋盒中有4颗黑色棋子和a颗白色棋子，随机地取出一颗棋子， 如果它是白色棋子的概率是
35，则a＝（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 7. 如图，已知AB∥CD,BE 平分∠ABC，∠CDE＝1500
， 则∠C的度数是是：（ ） A 1000
B 1100
C 1200
D 1500
8. 如图，在△ABC中，∠C＝900
，AD
是BC 边上的中线，BD＝4，AD＝25则 tan∠CAD的值是（ ）
A 2 B 3 C 5 D 2
9. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10， CD＝8，那么，sin∠OCE=( )，
A
43433 B 5 C 5 D 4 10. 如图，两块相同的直角三角形完全重合在一起，∠A＝300
，AC＝10，把上面一块绕直角顶点B逆
时针旋转到△A′B′C′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D＝（ ） A 2.5 B 2 C 23 D 532
二、填空题（每小题4分，共24分） 11.分解因式：2x2
－8＝ 12.化简：
1x－1x?1= 13.若关于x的方程ax2
+2 (a+2)x+a=0有实数解， 那么实数a的取值范围是 . 14.不等式组??2x?1?x?4x?3x?5的解集是 .
15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，
四边形OABC为平行四边形，则∠D的大小是 . 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC的垂直平分
线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为 . 三．解答题（一）（每小题5分，共15分） 17.计算：12－（－2013）0
+(1)?12 +1?3
18.已知一次函数y=2x+1的图象分别与坐标轴相交于A、 B两点 （如图所示）与反比例函数的图象相交于C点， （1）写出A、B两点的坐标；
（2）作CD⊥x轴，垂足为D，如果OB是△ACD是中位线，
求反比例函数y=
kx (k＞0)的关系式. 19.尺规作图：已知△ABC，请用直尺和圆规作出△ABC的外接圆O.(要求保留作图痕迹,不写作法.)
数学试题第1页
三、解答题（二）（每小题8分，共24分）
24.如图，已知AB为⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，线段OP与弦BC垂直并相交于点D，OP与弧BC相交于点E，连接AC
（1）求证：∠PBC＝∠BAC，且PB·AC＝BA·CD （2）若PB＝10，sin∠P＝
2
1120.已知甲同学手中藏有三张分别标有数字、、1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数
24字1，3，2的卡片，卡片外形相同，现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字 分别记为a、b,
（1）请你用树状图或列表法列出所有可能的结果；
（2）现制定这样一个游戏规则，若所选出的a、b能使得方程ax+bx+1=0有两个不相等的实
数根，则甲获胜；否则乙获胜，请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释。
21.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的 中点，又是EF的中点。 （1）求证：△BOE≌△DOF
3,求PE的长。 5
25.如图，已知菱形ABCD的边长为23，点A在x轴的负半轴上，点B在坐标原点，点D的坐标 为(－3，3)，抛物线y=ax+b.(a≠0)经过AB、CD两边的中点。
2
1（2）若OA＝BD,则四边形ABCD是什么特殊四边形？
2请说明理由。
22.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房建设力度，2011年市政府共投资1亿元人民币建设了廉租房4万平方米，预计到2013年底三年共计投资4.75亿元人民币建设廉租房，若这两年内每年投资的增长率相同。 （1）求每年政府投资的增长率。
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2013年底共建设了多少平方米廉租房？
三、解答题（三）（每小题9分，共27分） 23.已知抛物线y=
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移，过点B作BE⊥CD于点E，交
抛物线于点F，连接DF、AF，设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3）,是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由。
12
(x－1)－2 2（1）写出抛物线的开口方向，对称轴方程。
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值。
（3）设抛物线与y轴的交点为P，抛物线的顶点为Q，求直线PQ的函数解析式。
数学试题第2页
数学试题解答及评分标准
一、 选择题（每小题3分，共30分）
1.A 2.D 3.B 4.C 5.C 6 .A 7.C 8.D 9.B 10.A 二、填空题（每小题4分，共24 分） 11. 2（x－2）（x+2） 12..
?1x(x?1)
13. a≥－1 14. 1＜x≤5
15. 600 16. 258
三、解答题（一）（每小题5分，共15分） 解：原式＝23－1+2+3－1 ???3分
＝33 ???5分
18．解：（1）由y=2x+1,令x=0,得y=1,∴点B的坐标为（0，1）??1分由y=2x+1,令y=0,得x=?112,∴点A的坐标为（?2，0）?2分 （2）由OB是△ACD的中位线，OD=12,CD=2OB=2
∴点C的坐标为（12，2） ???3分
把C（12，2）的坐标代入y=k1x,得，k=2×2＝1 ???4分
∴反比例函数的关系式为y=1x ???5分
19．解
A O C ???4分
B
圆O为所求作的圆。 ???5分 三．解答题（二）（每小题8分，共24分）
20.解：（1）所有可能的结果有：（12，1）（12，3）（12，2）（14，1）（14，3）（14，2）（1，
1）（1，3）（1，2） ???4分
（2）一元二次方程ax2+bx+1=0的判别式△＝b2－4a,当△＞0时，方程有两个不相等的实根。
由(1)能使△＞0的a、b的值有（12，3）（14，3）（14，2）（1，3）（1，2）
?6分
所以，甲获胜的概率为：P（甲获胜）＝59＞ P（乙获胜）=49???7分
所以这样的游戏规则不公平。 ???8分 21.（1）证明：∵O是EF的中点，∴OE＝OF ???1分 又∵∠DOF＝∠BOE
又∵BE⊥AC，DF⊥AC ∴ ∠ BEO =∠DFO=900 ???3分 △BOE ≌ △DOF ???4分 （2）四边形ABCD是矩形。 ???5分 由（1）知：△BOE ≌ △DOF ∴OB＝OD
又∵OA＝OC ∴四边形ABCD是平行四边形。 ???6分
∵OA＝12BD ，OA＝12AC ∴BD＝AC ???7分
∴平行四边形ABCD是矩形。 ???8分 22.解：（1）设每年政府投资的增长率为x， ???1分 依题意得：1+（1+x）+(1+x)2=4.75 ???3分 解这个方程得，x1=-3.5(不合题意舍去),x2=0.5 政府每年投资的增长率为50% . ???5分
（2）三年共建设廉租房的面积为：41×4.75＝19（万平方米）???8分
三．解答题（三）（每小题9分，共27分）
23.（1）抛物线的开口向上，对称轴的方程为x=1 ???2分 （2）函数有最小值，最小值为：－2 ???4分
（3）在y=12(x－1)2－2中，令x=0得y=－32
点P的坐标为：（0，－32）。抛物线顶点坐标为：Q（1，－2）???6分
数学试题第3页
设直线PQ的方程为：y=kx+b.把P（0，－
3）、Q（1，－2）的坐标代入方程y=kx+b.得： 如图2所示，在△BCE中，∠BEC＝900，BE＝3，BC＝23 2?????3?b解得：??k??12 ?2? ???8分 ??2?k?b???b??32
直线PQ的方程为：y=－
12x－32 ???9分 24．（1）证明：∵AB是直径 ∴∠ACB＝900
∴∠CBA+∠BAC＝900
???1分
∵PB与⊙O相切于点B，AB是直径 ∴∠PBO＝900
∴∠DBO+∠PBC=900
∴∠PBC=∠BAC ???3分 又∵OP⊥BC
∴△PBE∽△BAC ???4分 ∴PBAB?BEAC，即 PB·AC＝BA·CD ???5分 （2）在△BPD中，sin∠P＝BD3PB，PB＝10，sin∠P＝5，
∴BD＝6，BC＝12 ???8分 ∴△PBD中，PD2＝102－62，∴PD＝8，
又∵△PBD∽△ABC ∴BPBA?PD10BC 即AB?812 AB＝15 ∴BO＝152 ∴OP＝BP2?OB2＝252
∴PE＝OP－OE＝25152－2＝5 ???9分
25由题意得AB的中点坐标为（－3，0），CD的中点坐标为（0，3）
分别代入y=ax2+b，得???(?3)2a?b?0解得?a??1?? ?b?3?b?3
这条抛物线的函数的解析式为y=－x2+3 ???3分 （2）存在。
Sin∠C=
BEBC=323=32 ∠C=600, ∠CBE＝300
∴EC＝12BC＝3，DE＝3
又AD∥BC，∴∠ADC+∠C＝1800 ∴∠ADC＝1800－600＝1200
要使△ADC与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角???5分 ①
若∠ADF＝900，∠EDF＝1200－900＝300，在△DEF中，DE＝3，得EF＝1，
DF＝2.
又E（t，3），F（t，－t 2+3）， ∴EF＝3－（－t 2+3）= t 2 ∴t 2=1∵t＞0, ∴ t =1， 此时，
ADDF2ADDFDE＝233＝2，EF＝1＝2，DE＝EF
又∵∠ADF=∠DEF∴△ADC∽△DEF ???6分
② 若∠DAF＝900，可证得△DEF∽△FBA，则DEEFFB＝BA
设EF＝m，则FB＝3－m，
33?m＝m23即m2-3m+6=0,此方程无实数根，此时t不存在 ???7分 ③ 由题意得，∠ DAF＜∠DAB＝600，∴∠DAF≠900
∴此时t不存在。 ???8分 综上所述，存在t＝1，使△ADC与△DEF相似 ???9分
数学试题第4页