二次函数知识归纳与总结
二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，特别注意那么y叫做x 的二次函数。
a不为零
y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x??b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线y?ax?bx?c与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
2二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)
2（2）两根 当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程
2ax2?bx?c?0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式
ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax2?bx?c可转化为两根式
y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点 顶点式：y?a(x?h)2?k(a,h,k是常数，a?0)
二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
b4ac?b2x??时，y最值?。
2a4a如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?b是否在自变量取值范围2ab4ac?b2时，y最值?；若不在此范围内，则x1?x?x2内，若在此范围内，则当x=?2a4a需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当
2x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，y最小?ax12?bx1?c；如果在此范围内，2y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1?bx1?c，当x?x2时，2y最小?ax2?bx2?c。
二次函数的性质
1、二次函数的性质 二次函数 函数 a>0 y 图像 0 x y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0) a<0 y 0 x （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=? （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； bbbb，顶点坐标是（?，（2）对称轴是x=?，顶点坐标是（?，2a2a2a2a4ac?b2）； 4a（3）在对称轴的左侧，即当x?的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>?b时，y随x的增大而增大，简记左减2ab时，y随x的增大而减小，简记左2a右增； （4）抛物线有最低点，当x=?增右减； bb时，y有最小（4）抛物线有最高点，当x=?时，y有最2a2a大值，y最大值值，y最小值
4ac?b2? 4a4ac?b2? 4a2、二次函数y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义：
a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上 a<0时，抛物线开口向下
bb与对称轴有关：对称轴为x=?
2a（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的??b?4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当?>0时，图像与x轴有两个交点； 当?=0时，图像与x轴有一个交点； 当?<0时，图像与x轴没有交点。
2中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y 如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2） 则AB间的距离，即线段AB的长度为
?x1?x2?2??y1?y2?2 A
0 x
B
2，二次函数图象的平移
① 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?；
k?处，具体平移方法如下： ② 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，2
y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k
③平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提
高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解
记忆)
说明① 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右
②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减
3、直线斜率：
y2?y1 b为直线在y轴上的截距4、直线方程：
k?tan??x2?x14、①两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:
y?y1?kx?b?(ta?n)x?b?y2?y1x(x?x1) 此公式有多种变形 牢记 x2?x1 ②点斜 y?y1?kx(x?x1)
③斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0)
④截距 由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：
xy??1 ab牢记 口诀 ---截距
两点斜截距--两点 点斜 斜截
5、设两条直线分别为，l1：y?k1x?b1 l2：y?k2x?b2 若l1//l2，则有
l1//l2?k1?k2且b1?b2。 若
l1?l2?k1?k2??1
6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:
d?
kx0?y0?bk?(?1)22?kx0?y0?bk?12
7、抛物线y?ax2?bx?c中， a b c,的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线
22x??bb，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴2aa