第26章 二次函数
26.1二次函数及其图像 一、.二次函数定义：
一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数. 例：如果函数y?(m?3)xm2?3m?2?mx?1是二次函数，那么m的值为 。
?m2?3m?2?2解题思路：由二次函数定义?则m=0
?m?3?0【同步练习】
１、在圆的面积公式 S＝πr2 中，s 与 r 的关系是（ ）
A、一次函数关系 B、正比例函数关系 C、反比例函数关系 D、二次函数关系 ２、已知函数 y＝(m＋2) xm2?2是二次函数，则 m 等于（ ）
A、±2 B、2 C、－2 D、±2 答案：1.D 2.B
二、二次函数y?ax2(a?0)的图像
（1）抛物线y?ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数y?ax2的图像与a的符号关系.
①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.
（a?0）（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax2.
例：二次函数y?ax2(a?0)与一次函数y?kx?b(k?0)的图象相交于点（—1，—1）。 （1）求二次函数解析式为，
（2）求若一次函数的图像还过点（2、-3），求一次函数解析式 （3）求二次函数和一次函数的图像另一个交点为
【同步练习】
1、将抛物线 y＝2x 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿。 2、把抛物线y?x向右平移2个单位得到的抛物线是( )
A、y?x?2 B、y?x?2 C、y?(x?2) D、y?(x?2)
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222222
三、二次函数y?a(x?k)2?k(a?0)的图像
y?ax2的图象————————→y?a(x?m)2的图象
y?a(x?m)2?k的图象 例：已知二次函数y?x2?4x，
(1) 用配方法把该函数化为y?a(x?h)2?k (其中a、h、k都是常数且a≠0)形式，并画出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标. (2) 求函数的图象与x轴的交点坐标.
【同步练习】
1、将 y＝x－2x＋3 化成 y＝a (x－m)＋k 的形式，则 y＝ 。 2、抛物线y??2
2
12 ?x?2??5的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向_____。
23．抛物线y?x2?2x?4的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 4.已知二次函数y??12x?2x?3. 4（1）用配方法化为y?a(x?h)2?k的形式. （2）写出它的顶点坐标和对称轴，并画出它的图象. （3）根据图像指出：
①当x取何值时，y随x值的增大而减小. ②当x取何值时，y有最大（小）值，值是多少？
四、二次函数y?ax?bx?c(a?0)
1、二次函数 y?ax?bx?c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.
22b4ac?b2，k?2、二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中h??. 2a4a22 - 2 -
13例、请研究二次函数y??x2?x?的图象和性质：
22⑴开口方向： ⑵对称轴： ⑶顶点坐标： ⑷图象与x轴的交点坐标： ⑸图象与y轴的交点坐标：
⑹图象与y轴的交点关于对称轴的对称点的坐标： ⑺用五点法画函数的草图
⑻求这个函数的最值，当x= 时，
⑼当 时；y=0，当 时，y>0；当 时，y<0。 ⑽图象在x轴上截得的线段的长是： ⑾求图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积：
⑿根据图像回答：当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小。
【同步练习】
１、把抛物线y＝
y?123x?x?。 2212x?2x?1先向 平移 个单位，再向 平移 个单位的22.二次函数y?(x?1)2?2的最小值是（ ）
A.－2 B.2 C.－1 D.1 3.二次函数y?2(x?1)2?3的图象的顶点坐标是（ ）
A.（1,3） B.（－1,3） C.（1,－3） D.（－1,－3） 五、用待定系数法求二次函数的解析式 1、二次函数解析式的三种形式：
⑴一般式：y?ax?bx?c(a?0)，顶点坐标： 对称轴：直线 当x= 时，y最??值=
⑵顶点式：y?a(x?m)?k，顶点坐标：（ ， ） 对称轴：直线 当x= 时，y最.....值= ⑶两根式：y?a(x?x1)(x?x2)，其中x1,x2是ax?bx?c=0的两个实数根，图象与x轴的两个交点坐标为（ ， ）和 （ ， ）
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222例1：如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． （1）求D点的坐标．
（2）求一次函数的解析式．
（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的x的取值范围．
例2：（2008江苏镇江）二次函数的图象经过点A(0，?3)，B(2，?3)，C(?1，0)． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点．．在原点．
【同步练习】
1．已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）写出它的对称轴和顶点坐标。（2004常州）
2．已知二次函数y?ax?bx的图象经过点（2，0）、（-1，6）。 （1）求二次函数的解析式； （2）画出它的图象；
（3）写出它的对称轴和顶点坐标。 （2003常州）
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23.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为?2,0,1时, 相应的输出值分别为5,?3,?4． （1）求此二次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.
26.2用函数观点看一元二次方程
求二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即令y=0，求出方程ax2＋bx＋c=0的两个实数根，这两个根就是焦点的横坐标。从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，
2
例1.已知二次函数y=kx－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为：
2
例2.抛物线y=ax＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．
例3．已知抛物线y=mx＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点． （1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．
【同步练习】
1、抛物线y?2x?8?3x2与x轴有
22
个交点，相应二次方程3x2?2x?8?0的根的情况为
．
22、关于x的方程mx?mx?5?m有两个相等的实数根，则相应二次函数y?mx?mx?5?m与x轴必
然相交于
点，此时m?
．
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