专题检测（二十二） 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”专练
x2y2
1.(2018届高三·广东五校协作体诊断考试)若椭圆2＋2＝1(a>b>0)的
ab左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y＝2bx的焦点F分成了3∶1的两段．
(1)求椭圆的离心率；
―→―→
(2)过点C(－1,0)的直线l交椭圆于不同两点A，B，且AC＝2CB，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．
解：(1)由题意知，c＋＝3?c－?，
2?2?所以b＝c，a＝2b， 所以e＝＝ 2
2
2
b?
b?ca1－??＝
a?b?2??
2. 2
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝ky－1(k≠0)， ―→―→
因为AC＝2CB，所以(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)， 即y1＝－2y2，
2
2
2
①
由(1)知，椭圆方程为x＋2y＝2b.
??x＝ky－1，由?222
?x＋2y＝2b?
2
2
消去x，
2
得(k＋2)y－2ky＋1－2b＝0， 所以y1＋y2＝
2k， k＋2
2
2
②
由①②知，y2＝－
2k4k，y1＝2， k＋2k＋2
11
因为S△AOB＝|y1|＋|y2|，
22所以S△AOB＝3·|k|1
＝3· k2＋22
＋|k||k|
≤3·2
132
＝，
42
·|k||k|
2
当且仅当|k|＝2，即k＝±2时取等号，
此时直线l的方程为x－2y＋1＝0或x＋2y＋1＝0.
1
x2y2
2．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭
ab3
圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.
4
(1)求椭圆C的方程；
―→―→
(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求OP·OQ＋―→―→
MP·MQ的取值范围．
解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)， 设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2， 则k1＝
，k2＝. x＋4x－4
yy3yy3
由k1k2＝－，得·＝－，
4x＋4x－44整理得＋＝1. 1612
故椭圆C的方程为＋＝1.
1612
(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，
x2y2
x2y2
y1)，(x2，y2)，
xy??＋＝1，
联立方程?1612
??y＝kx＋2
2
22
2
消去y，
得(4k＋3)x＋16kx－32＝0.
16k32
所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－2. 4k＋34k＋3
―→―→―→―→2
从而，OP·OQ＋MP·MQ＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k)x1x2＋－80k－528
2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋2. 24k＋34k＋3
52―→―→―→―→
所以－20＜OP·OQ＋MP·MQ ≤－.
3
―→―→―→―→
当直线PQ的斜率不存在时，OP·OQ＋MP·MQ的值为－20. 52?―→―→―→―→?综上，OP·OQ＋MP·MQ的取值范围为?－20，－?. 3??
1
3．已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A(0,23)，离心率为.
2(1)求椭圆P的方程；
2
2
―→―→16
(2)是否存在过点E(0，－4)的直线l交椭圆P于点R，T，且满足OR·OT＝？若存7在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
x2y2
解：(1)设椭圆P的方程为2＋2＝1(a>b>0)，
abc1
由题意得b＝23，e＝＝，
a2
∴a＝2c，b＝a－c＝3c，∴c＝4，c＝2，a＝4， ∴椭圆P的方程为＋＝1.
1612
―→―→
(2)假设存在满足题意的直线l，易知当直线l的斜率不存在时，OR·OT<0，不满足题意．
故可设直线l的方程为y＝kx－4，R(x1，y1)，T(x2，y2)． ―→―→16∵OR·OT＝，
716
∴x1x2＋y1y2＝.
7
2
2
2
2
2
x2y2
y＝kx－4，??2
由?xy2
＋＝1??1612
2
2
2
消去y，
得(3＋4k)x－32kx＋16＝0， 由Δ>0得(－32k)－64(3＋4k)>0，
21
解得k>.①
4
2
32k16
∵x1＋x2＝2，x1x2＝2，
3＋4k3＋4k∴y1y2＝(kx1－4)(kx2－4)＝kx1x2－4k(x1＋x2)＋16， 1616k128k16
故x1x2＋y1y2＝， 2＋2－2＋16＝
3＋4k3＋4k3＋4k7解得k＝1.② 由①②解得k＝±1， ∴直线l的方程为y＝±x－4.
故存在直线l：x＋y＋4＝0或x－y－4＝0满足题意．
2
2
2
2
x2y2
4．(2018届高三·云南11校跨区调研)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为方程
ab2x－3x＋1＝0的解，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最
2
3
大值为23.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD把△DMN分为面积相等的两部分．
解：(1)方程2x2
－3x＋1＝0的解为x＝112，x2＝1，
∵椭圆离心率e∈(0,1)，∴e＝1
2
，
?c1由题意得??a＝2，
?ab＝23，
?a2
＝b2
＋c2
，
?a＝2，
解得?
?b＝3，
∴椭圆E的方程为x2y2
4＋3
＝1.
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，线段MN的中点为P(x0，y0)，故2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2， 由(1)可得F(－1,0)，
则直线DF的斜率为kn－0nDF＝－4－?－1?＝－3
，
当n＝0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN. 当n≠0时，直线MN的斜率k3y1－y2
MN＝n＝x，
1－x2∵点M，N在椭圆E上，
??x214＋y21
3＝1，∴?2
2??x2
y2
4＋3＝1，
整理得?x1＋x2??x1－x2??y1＋4＋y2??y1－y2?3＝0，
又2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，
∴x02y03y02＋3·n＝0，即x＝－n， 04
即直线OP的斜率为knOP＝－4
，
又直线OD的斜率为knOD＝－4，∴OD平分线段MN.
综上，直线OD把△DMN分为面积相等的两部分．
4