案例4 机器负荷分配问题
某机器可以在高、低两种不同的负荷下进行生产。高负荷下生产时，产品年产量s1?8u1，式中u1为投入生产的机器数量，机器的年折损率为a?0.7，即年初完好的机器数量为u1，年终就只剩下0.7u1台是完好的，其余均需维修或报废。在低负荷下生产，产品年产量s2?5u2，式中u2为投入生产的机器数量，机器的年折损率为x1?1000台，要求制定一个五年计划，在每年开始时决定如何重新分配好机器在两种不同负荷下工作的数量，使产品五年的总产量最高。
模型分析 设阶段变量k表示年度，状态变量xk是第k年初拥有的完好机器数量。
k?0时它也是k?1年度末的完好机器数量，决策变量xk规定为第k年度中分配在高负荷
下生产的机器数量。于是xk?uk是该年度分配在低负荷下生产的机器数量。这里与前面几个例子不同的是xk，uk的非整数值可以这样来理解：例如xk=0.6 表示一台机器在该年度正常工作时间只占60%；uk=0.3 表示一台机器在该年度的3/10时间里在高负荷下工作。此时状态转移方程为
xk?1?0.7uk?0.9(xk?uk),k阶段的允许决策集合是
k?1,2,?,5
Dk(xk)?{uk|0?uk?xk}
第k年度产品产量是
vk( xk,u指数函数是
5k)?8uk?5(xk-uk)
Vk?[8uj?5(xj?uj)]
j?k最优值函数为
fk(xk)?第k年初从xk出发到第5年度结束产品产量的最大值由最优化原理得递推关系为 fk(xk)?uk?Dk(xk)max{8uk?5(xk?uk)?fk?1[0.7uk?0.9(xk?uk)]}
边界条件是f6(x6)?0，计算过程如下：
k?5时，
f5(x5)?max{8u5?5(x5?u5)?f6[0.7u5?0.9(x5?u5)]}
0?u5?x5 ?max{8u5?5(x5?u5)}
0?u5?x5 ?max{3u5?5x5}
0?u5?x5因为f5的表示式是u5的单调函数，所以最优决策u5=x5，f5(x5)=8x5；
k?4时,
f4(x4)?max{8u4?5(x4?u4)?f5[0.7u4?0.9(x4?u4)]}
0?u4?x4*?max{8u4?5(x4?u4)?8[0.7u4?0.9(x4?u4)]}
0?u4?x4 ?max{1.4u4?12.2x4}
0?u4?x4同理，最优决策 u4=x4，f4(x4)=13.6x4，依次可以 u3?x3, u2?0,****f3(x3)=17.6x3 f2(x2)=20.8x2
f1(x1)=23.7x1 u1?0,因为x1=1000，所以f1(x1)=23700（台）。
从上面的计算可知，最优策略是前两年将全部完好机器投入低负荷生产，后3年将全部
机器投入高负荷生产，最高产量是23700台。
在一般情况下，如果计划是n 年度，在高、低负荷下生产的产量函数分别是s1?cu1，s2?du2，c?0,d?0,c?d，年折损率分别为a和b，0?a?b?1，则应用上例相似的办法可以求出最优策略是，前若干年全部投入低负荷下生产。由此还可看出，应用动态规划可以在不求出数量值解的情况下确定最优策略的结构。
终端状态固定的情形。如果要求在第5年末完好的机器数量是500台，即x6=500，于是由状态转移方程得
x6?0.7u6?0.9(x5?u5)?500 即 u5?4.5x5?2500
这时允许决策集合D5(x5)退化为一个点，第5年度投入高负荷生产的机器数只能由式（3-29）作出一种决策，所以
f5(x5)?max{8u5?5(x5?u5)}?max{3u5?5x5}
0?u5?x50?u5?x5 =3（4.5x5-2500）+5x5 =18.5x5-7500
利用递推关系，k?4时，
f4(x4)?max{8u4?5(x4?u4)?f5(x5)}
0?u4?x4 ?max{8u4?5(x4?u4)?18.5[0.7u4?0.9(x4?u4)]?7500}
0?u4?x4 ?max{21.654x4?0.7u4?7500}
0?u4?x4显然有最优策略：
u4=0，f4(x4)=21.65x4-7500?21.7x4-7500 依次相似可得
u3?0, u2?0,****f3(x3)=24.5x3-7500 f2(x2)=27.1x2-7500
u1?0,f1(x1)=29.4x1-7500 由此可见为满足第5年度末完好机器为500台的要求，而又要使产品产量最高，则前4年均应全部在低负荷下生产，而在第5年又将部分机器投入高负荷生产。经过计算
x5=656，u5=452，x5-u5=204，即第5年只能452台机器投入高负荷生产，204台机器
**投入低负荷生产，最高产量是
f1(x1)=29.4x1-7500=29400-7500=21900台