北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（理工类） 2012.3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项. 1. 复数
10i? 1?2iA. ?4?2i B. 4?2i C. 2?4i D. 2?4i
2. 已知平面向量a,b满足a?(a+b)=3，且a=2,b=1，则向量a与b的夹角为
A.
?????? B. C. D. 6336
?3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?2an?1(n?N)，则a5?
A. ?16 B. 16 C. 31 D. 32
4. 已知平面?，直线a,b,l，且a??,b??，则“l?a且l?b”是“l??”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试， 直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ）
A. 16 B. 24 C. 32 D. 48
6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x?R，都有f(x?2)?f(x).当
0?x?1时，f(x)?x2.若直线y?x?a与函数y?f(x)的图象在[0,2]内恰有两个
不同的公共点，则实数a的值是 A.0 B. 0或?1111 C. ?或? D. 0或? 24247. 某工厂生产的A种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一
年A种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A种产品 征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x元），于是该产品定价每件比第一年 增加了
70?x%元，预计年销售量减少x万件，要使第二年商场在A种产品经营中收取的
1?x% 管理费不少于14万元，则x的取值范围是
A. 2 B. 6.5 C. 8.8 D. 10 8.
已
知
点
集
A??(x,y)x2?y2?4x?8y?16?0?，
用心 爱心 专心 1
B?(x,y)y?x?m?4,m是常数，点集A所表示的平面区域与点集B所表示的平
面区域的边界的交点为M,N.若点D(m,4)在点集A所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN的面积的最大值是
A. 1 B. 2 C. 22 D. 4 第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.
??x29. 已知双曲线的方程为?y2?1，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近3线的距离为 .
10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .
开始 输入k 3 3 S=0，i=1 1 2 正视图 2 1 1 侧视图
S?S+1 i(i?1)i?k? 俯视图 是 i=i+1 否 输出S 结束
（第10题图） （第11题图）
11. 执行如图所示的程序框图，若输入k的值是4，则输出S的值是 . 12.在极坐标系中，曲线??23sin?和?cos??1相交于点A,B，则线段AB的中点E 到极点的距离是 .
?1x3x?2,?()?,13.已知函数f(x)??2若函数g(x)?f(x)?k有两个不同的零点，则4??log2x,0?x?2.实数k的取值范围是 .
1的圆在△ABC 4 内，沿着△ABC的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆M至少与△ABC的一边相切，则点M到△ABC顶点的最短距离是 ，点M的运动轨迹的周长
14.已知△ABC中，半径为 ?C?90?,AC?3,BC?4.一个圆心为M，是 .
用心 爱心 专心
2
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上. 15. （本小题满分13分） 已知函数f(x)?cos(x?).
π4 （Ⅰ）若f(?)?72，求sin2?的值； 10?????ππ?，求函数在区间?,?上的最大值和最小值. g(x)??2??63? （II）设g(x)?f?x??f?x?
16. （本小题满分13分）
某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及
频率其以上为优秀.
（Ⅰ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a, b的值； 0.07 组距0.06 [80，[85，[90，[95，区间 [75，80) 0.05 85) 90) 95) 100] 0.04 人数 50 a 350 300 b 0.03 （II）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成 0.02 0.01 绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
O75 80 85 90 95 100 （Ⅲ）在（II）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参
加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的
分布列与数学期望.
17. （本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，?ABD=90?，EB?平面
分数
ABCD，EF//AB，AB=2，EB=3,EF=1，BC=13，且M是BD的中点.
（Ⅰ）求证：EM//平面ADF； （Ⅱ）求二面角D-AF-B的大小； （Ⅲ）在线段EB上是否存在一点P， 使得CP与AF所成的角为30?？ 若存在，求出BP的长度；若不 存在，请说明理由.
A
18. （本小题满分13分）
F
E
D M B C eax,a?R. 设函数f(x)?2x?1 （Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)单调区间.
用心 爱心 专心
3
19. （本小题满分14分）
x2y2 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点分别为F1(?2,0)，F2(2,0).点
abM(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点N的坐标为(3,2)，点P的坐标为(m,n)(m?3).过点M任作直线l与椭圆 C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，若 k1?k3?2k2，试求m,n满足的关系式.
20．（本小题满分13分）
已知各项均为非负整数的数列A0:a0,a1,?,an (n?N?)，满足a0?0，
a1???an?n．若存在最小的正整数k，使得ak?k(k?1)，则可定义变换T，变换T将?,数列A0变为数列T(A0):a0?1,a1?1i?0,1,2?．
（Ⅰ）若数列A0:0,1,1,3,0,0，试写出数列A5；若数列A4:4,0,0,0,0，试写出数列A0； （Ⅱ）证明存在唯一的数列A0，经过有限次T变换，可将数列A0变为数列n,0,0,?,0；
,ka??11,0ka,1?,na．,设Ai?1?T(Ai)，??????n个 （Ⅲ）若数列A0，经过有限次T变换，可变为数列n,0,0,?,0．设
?????n个Sm?am?a?m?1??a，,2,?,n，求证am?Sm?[nm?1Sm，其中](m?1)m?1[SmS]表示不超过m的最大整数． m?1m?1北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学试卷（理工类） 2012.3
一、选择题： 题号 答案 （1） A （2） C （3） B （4） B （5） C （6） D （7） D （8） B 二、填空题： 题（9） 号 答案 （10） （11） （12） （13） （14） 23 31 3 23 42 3(,1) 42 49 三、解答题： （15）（本小题满分13分）
用心 爱心 专心
4
解：（Ⅰ）因为f(?)?cos(??)?π472， 10 所以
272(cos??sin?)?， 210 所以 cos??sin??27. 52 平方得，sin??2sin?cos??cos?= 所以 sin2??49， 2524. ?????6分 25??π?ππ=cos(x?)?cos(x?) ?2?44（II）因为g(x)?f?x??f?x? =
22(cosx?sinx)?(cosx?sinx) 221(cos2x?sin2x) 21 =cos2x. ?????10分
2 = 当x????ππ??π2π?,?时，2x???,?. ?63??33? 所以，当x?0时，g(x)的最大值为 当x?1； 2π1时，g(x)的最小值为?. ?????13分 34（16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）依题意，a?0.04?5?1000?200,b?0.02?5?1000?100. ?????4分 （Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则
x350?300?100，解得：x=30， ?401000 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ?????7分
（Ⅲ）依题意，X的取值为0，1，2，
2112C10C10C30C303529，P(X?1)?，， P(X?0)?2??P(X?2)??22C4052C4013C4052所以X的分布列为
X P 0 1 2 29 52352933 EX?0??1??2??，所以X的数学期望为. ?????13分
521352223 52用心 爱心 专心
5
5 13