一、
1. 集合的运算（集列的上、下极限） 2.对等、基数的定义 3.可数集合定义、性质 4.不可数集合（0，1）
5. 集合聚点、内点、外点、边界点定义，及相互关系 6.开、闭集定义和等价描述（会判断），及运算性质 7.自密集、完备集定义（会判断） Q , R , [ 0，1] 8.直线上开、闭、完备集构造
9.Cantor三分集性质（自密集、闭集、没有内点，具有连续基数，测度=0） 10.外测度、测度的定义和性质，会求简单集合的（外）测度 11.可测集结构（零测度集，G?型、F?型集合，Borrel集） 12.可测函数定义、性质（会判断），
几类常见可测函数（区间上连续函数、单调函数；可测集上的连续函数、常函数、简单函数；） 可测函数与简单函数的关系（知道结论） 13. 可测函数与连续函数的关系（知道结论） 14.函数列的三种收敛性的定义及关系 15.函数勒贝格积分的定义、可积分条件、性质 非负简单函数、 非负可测函数、 一般可测函数 16.三个积分极限定理
非负可测函数----列维定理、法都引理 一般可测函数--- 勒贝格控制收敛定理 17.勒贝格积分几何意义
练习题 一、
（ ）1.任何无限集合都能与自身的某一个真子集对等. （ ）2.何无限集合都至少包含一个可数子集. （ ）3.任何无限集合的无限子集一定是可数集合.
（ ）4.平面上所有坐标为有理数的点组成的集合为可数集. （ )5.E的内点一定是E的聚点.
1
（ )6.设E为R中的点集, 若P?E, 则P是E的外点.
边界点一定是聚点么？ E的聚点、内点、外点、边界点与E的属于关系？
（ ）7.任意有限集E是闭集.
（ )8.在R中点集E??1,,?,??是闭集. （ ) 9.任意多个闭集的并集是闭集.
（ ) 10.若E?R,满足mE???, 则E为无限集合.
（ ） 11.对任何集合A,B,都有(A\\B)?B?A恒成立. （ ） 12.设G1,G2是开集，且G1是G2的真子集，则一定有mG1?mG2. （ ）13. 空集是自密集. （ ) 14.在R中点集E??1,1n1n?1?21n??*??11?,?,?是闭集. 21000?（ )15.有理数全体所成之集Q是完备集. （ ）16R中的任何点集都有外测度.
（ )17、f(x)是可测集E上的可测函数，则f(x)一定也是E上的可测函数. （ )18、f(x)是可测集E?R上的非负函数. 若f(x)?L(E)，则mG(E,f)有限. （ )19、可数集合的测度一定为0.
（ ）20、设f?x?定义在可测集E上. 若对任意的有理数r，E[f?r]都可测，则f?x?为E上的可测函数.
（ ）21、若E是勒贝格可测集，则E的任何子集E1都是勒贝格可测集. （ )22、有理数全体所成之集Q是零测度集.
nn二、
1. 设A2n?1?(0,1n),A2n?(0,2n),(n?1,2,3,L)，则集列?Ak?的上限集为=
下限集为
11,1?),A2n?(?n,?n),n?1,2,3,?求集列?Ak?的上限集和下限集. nnn13．求集列(0,1?(?1)),n?1,2,3,?的上、下极限集. n2.设 A2n?1?(?1??1?sin4.E是函数y??x??0,
,x?0,x?0. 的图形上的点所作成的集合，在R内求E的E?,E.
2o2
5、设E是[0,1]中的全部有理点，求E在R内的E?,E,E. 6、设P为[0,1]上的Cantor集，令f(x)?? 积的，此时
1o?1,x?P,则f(x)在[0,1]上是勒贝格可
2,x?[0,1]?P.?[0,1]1?(1?x)?(x2?x3)??(0?x?1),利用勒贝格积分理论将ln2表示成无穷级数为 7.从
1?x?f(x)dx= 2 . 8.设R为实数集，则( )
A. R为不可测集 B. R为不可数集 C. R是波雷尔集 D. R的任何子集一定可测 9. 闭区间?0,1?中的有理点集，闭区间?0,1?中的无理点集的性质：
基数= ？ 开、闭？
是否可测？测度=？
?x,x?P1,10. 设f(x)??其中P?且x是无理数}, Q1??x|x??0,1?且x是有理数},则1??x|x??0,11,x?Q,?1f(x)在[0,1]上( )
A. 单调函数 B. 勒贝格可积 C.
?10f(x)dx?L??1 D. 可测函数 211、设P为[0,1]上的Cantor集，令f(x)?? 积的，此时
1
?1,x?P,则f(x)在[0,1]上是勒贝格可
?2,x?[0,1]?P.[0,1]?f(x)dx= .
12. R中至少有一个内点的集合，问其基数？测度？ 13. mE?0，是否一定有mE?0？回答并举例说明. 14. R中构造一个可数的零测度集E，使E??{10},E??. 答：E?{10?1
?111,10?,?,10?,?} 23n?1n???10, 且E是可数集合， ?mE?0,E??{10},E??. ?10????n15、构造函数列，说明几乎处处收敛的函数列不一定是依测度收敛的.
16. 构造在E?(0,1]上函数列{fn(x)}，在E上fn(x)?2，但{fn(x)}在E上处处不收敛.
证明： Ch4
1. 收敛性关系：
3
mE??????基本上一致收敛 几乎处处收敛于
{fn}几乎处处收敛f2.斯定理
mE??黎斯定理????{f}依测度收敛f?????存在子列{fnnj}几乎处处收敛于f
P95-9设?fn?在E 上依测度收敛于f，且fn(x)?g(x)a.e.于E，n?1,2,? ，证：
f(x)?g(x)a.e.于E .
P95-10设在E上fn(x)?f(x)，且fn(x)?fn?1(x)a.e.于E，n?1,2,3,?，则几乎处处有fn(x)收敛于f(x).
P95-11设在E上fn(x)?f(x),而fn(x)?gn(x)a.e.成立，n?1,2,3,?, 则有gn(x)?f(x).
Ch5 列维定理、勒贝格控制收敛定理
1.fn(x)是E上一列非负可测函数，且f1(x)?f2(x)???fn(x)??,limfn(x)?f(x)a.e.于E，
n??证明：当?fn(x)?中至少有一个可积时，有
?Ef(x)dx?lim?fn(x)dx.
n??E2.设mE???，f(x)?0是E上的可测函数，令fn(x)??证明：lim?f(x),?n?f(x)?0,n?1,2,3,?
?n,f(x)??n,?n??E?fn(x)dx??f(x)dx.
Eq3、设?fn(x)?是可测集E?R上一列可测函数，且fn(x)?0，则
?[?f(x)]dx???Enn?1n?1??Efn(x)dx
（利用列维定理完成).
3.（p132-3）设mE??，f在E上可积，en?E[f?n]，则limn?men?0.
n4.（p132-7）设mE??,?fn?为a.e.有限的可测函数列，证明:limn???1?Efn(x)fn(x)dx?0的充要条件是
fn(x)?0.
证明：（充分性）fn(x)?0，又{fn}a.e.有限可测，则 （1）由可测函数的性质，知???fn(x)???是可测集E上可测函数列；
?1?fn(x)???4
（2）
fn(x)1?fn(x)?1a.e.于E，n?1,2,3,? ；
fn(x)1?fn(x)（3）因???0，E[??]?E[fn(x)??]，所以由fn(x)?0，知
fn(x)1?fn(x)?0；
则由勒贝格控制收敛定理推论有limn???1?Efn(x)fn(x)dx??0?dx?0
E（必要性）对任意??0,令Ek?E[fk??],由于当x?0时，g(x)?减，所以根据勒贝格积分的性质有
x 单调不 1?x?1???mEk?Ek?1???dx?fk(x)dx ?1?fk(x)Ek??Efk(x)1?fk(x)dx?0(k??)（因为lim?n??Efn(x)1?fn(x)， dx?0）
所以mEk?0(k??),即fn(x)?0. 5. 证明：极限lim(R)n??12nx3cosnxdx?0. 22?1?nx0121121nxnx3cosnxRcos3nxdx存在且与证明:因在上连续，所以0,1????2222?01?nx1?nx?L??01nx3cosnxdx的值相等. 又 221?nxnxcos3nx,n?1,2,3,?是可测集?0,1?上可测函数列； 221?nx1212（1）fn(x)? （2）在?0,1?上恒有
1?nxnxnx?11?11?1nx3222??x ?x?x，而x2在?0,1?上（R）可积; fn(x)?cosnx ?2222221?nx1?nx2nx221?nx1212 (3) 在?0,1?上, limfn(x)?limn??nx3cosnx?0,x??0,1?.
n??1?n2x211212121nx1nx33cosnxdx?limLcosnxdx由勒贝格控制收敛定理得lim?R??????01?n2x2?00dx?0 01?n2x2n??n??
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