周周练（8） 答案
1. ⑴f'(x)?ax?2bx,f'(2)?a2?4b,f(2)?aln2?4b，
?a?a?2??4b??3∴?2，解得?
b?1??aln2?4b??6?2ln2?2?22⑵f(x)?2lnx?x，令h(x)?f(x)?m?2lnx?x?m，h'(x)?令h'(x)?0，得x?1（x??1舍）
在[,e]内，当x?[,1)时，h'(x)?0,h(x)是增函数，
ee112x?2x?2(1?x)x2，
当x?(1,e]时，h'(x)?0，∴h(x)是减函数，则方程h(x)?0在[,e]内有两个不等实根
e1?1?h(e)?0?的充要条件是?h(1)?0，即1?m?e?2?2．
?h(e)?0??⑶g(x)?2lnx?x?nx,g'(x)?22x?2x?n，假设g'(x0)?0，则
?2lnx1?x12?nx1?0(1)?22lnx?x?nx2?0(2)?22x1?22?(x1?x2)?n(x1?x2)?0， ?x1?x2?2x0(3)，⑴－⑵得2lnx2??2?2x?n?0(4)0??x0x1x2?2x0由⑷得n?2x0?2x0，∴
lnlnx1x2?1x0lnx1x2?2x1?x2∴n?2x1?x2x1?x2即
x1?x2，
[来源:Zxxk.Com]
即lnx1x22?x1x2x1x2?2 ⑸?1[来源学*科*网Z*X*X*K]
令t?x1x2,u(t)?lnt?2t?2t?1(0?t?1)
则u'(t)?(t?1)22t(t?1)?0，∴u(t)在（0，1）上是增函数，u(t)?u(1)?0，∴⑸不成立与⑸
成立矛盾。于是g'(x0)?0 2. 解: (1) ∵a11a32?a21a22,∴a32?∵a21a33?a22a32,∴a33?(2)由a11?1,a21?(5分) 故an1?12n?118.∵a22a31?a21a32,∴a31?14,a32?18,a33?11614.…………(2分)
11614.∴a31?.…………(4分)
1212,a31?.可归纳出a11,a21,a31,?,an1是公比为
1212141418的等比数列, ……
.…………(6分) 由a21?,a22?;a31?,a32?,a33?116.
可归纳出an1,an2,an3,?,ann是公比为故anm?12n?1的等比数列,…………(8分)
?12m?1,即anm?12n?m?2.…………(10分)
1n?11n()[1?()]1n?21n2(3)由(2)知Sn?2?()[1?()],
1221?21n?11n1n1n?21n1n?21n1?1,∴()?1?(), ∴()[1?()]?()?()?2n?2. ∵()222222221n?21n1n1n1n1n2又()[1?()]?4()[1?()]?[()?1?()]?1,
222222∴1?
1Sn?22n?2.…………(13分) ∴n?1S1?1S2???1Sn?4?13n.…………(16分)
3. 解：（1）三个函数的最小值依次为1，1?t，1?t， …………………… …3分
由f(1)?0，得c??a?b?1
∴ f(x)?x?ax?bx?c?x?ax?bx?(a?b?1)
?(x?1)[x?(a?1)x?(a?b?1)]，
2故方程x?(a?1)x?(a?b?1)?0的两根是1?t，1?t．
23232故1?t?1?t??(a?1)，1?t?1?t?a?b?1．………………………4分
(1?t?1?t)?(a?1)，即2?2(a?b?1)?(a?1)
222
∴ a2?2b?3． …………………………………………………………6分 （2）①依题意x1,x2是方程f'(x)?3x2?2ax?b?0的根，
故有x1?x2??2a3，x1x2?b3，
且△?(2a)2?12b?0，得b?3．
2a?3b32由|x1?x2|?(x1?x2)?4x1x2?2?23?b3………………………9分
23?b3 ?23；得，b?2，a2?2b?3?7．
由（1）知1?t?1?t??(a?1)?0，故a??1， ∴ a??7，c??(a?b?1)?∴ f(x)?x3?7x?2x?27?3
7?3．…………………………………………11分
3322②|M?N|?|f(x1)?f(x2)|?|(x1?x2)?a(x1?x2)?b(x1?x2)|
?|x1?x2|?|(x1?x2)?x1x2?a(x1?x2)?b|
2?23?b3|(?2a3)?2b3?a?(?2a3)?b|
?4273(3?b)2（或
427(9?a223． ………………………………………13分 )2）
由（1）(a?1)2?(1?t?1?t)2?2?21?t2 ∵ 0?t?1， ∴ 2?(a?1)?4， 又a??1，
∴ ?2?a?1??2，
?3?a??2?1，3?22?a?9（或2?b?3） …………………15分
427322∴ 0?|M?N|?
(3?2)2． …………………………………16分
4. 解：（I）f?(x)?3x2?3a?[?3a,??)， …………2分
∵对任意m?R，直线x?y?m?0都不与y?f(x)相切，
∴?1?[?3a,??)，?1??3a，实数a的取值范围是a?13； …………4分
14（II）存在，证明方法1：问题等价于当x?[?1,1]时，|f(x)|max?设g(x)?|f(x)|，则g(x)在x?[?1,1]上是偶函数， 故只要证明当x?[0,1]时，|f(x)|max?14，…………6分
，
①当a?0时,f?(x)?0,f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)?0，g(x)?f(x)
g(x)max?f(1)?1?3a?1?114； …………8分
②当0?a?时,f?(x)?3x2?3a?3(x?3x f?(x) a)(x?a)，列表： a) (??,?a) ?a (?a,a (a,??) + ? 0 极大2aa- ? 0 极小 + ? f(x) ?2aaf(x)在(0,a)上递减，在(a,1)上递增， …………10分 注意到f(0)?f(3a)?0，且a?3a?1，
∴x?(0,3a)时，g(x)??f(x)，x?(3a,1)时，g(x)?f(x)， ∴g(x)max?max{f(1),?f(a)}，…………12分 由f(1)?1?3a?141314及0?a?14，解得0?a?，此时?f(a)?f(1)成立．
∴g(x)max?f(1)?1?3a?
由?f(a)?2aa?14． …………14分
131413及0?a?14，解得?a?，此时?f(a)?f(1)成立．
∴g(x)max??f(a)?2aa?．
14∴在x?[?1,1]上至少存在一个x0，使得|f(x0)|?
成立． …………16分
②当0?a?时,f?(x)?3x2?3a?3(x?31a)(x?a)，列表：
x f?(x) (??,?a) ?a (?a,a) a (a,??) + ? 0 极大2aa- ? 0 极?2aa+ 小 ? f(x) f(x)在(0,a)上递减，在(a,1)上递增， …………10分 注意到f(0)?f(3a)?0，且a?3a?1，
∴x?(0,3a)时，g(x)??f(x)，x?(3a,1)时，g(x)?f(x)， ∴g(x)max?max{f(1),?f(a)}，……………12分 注意到0?a?13，由：
11????f(a)?f(1)?1?3a??f(a)?f(1)?1?3a0?a?a???????44，?矛盾；?，?矛?1111?f(1)?1?3a???f(a)?2aa??a??a?44????44??盾； ……14分
∴?x?[?1,1]，|f(x0)|?
14与a?13矛盾，
∴假设不成立，原命题成立． …………16分