第4章习题解答
4.1 电导率为?的均匀、线性、各向同性的导体球，半径为R，其表面的电位分布
为?0cos?。试确定表面上各点的电流密度。
解：由于导体球的外部是空气，所有在导体球的表面只有切向分量，即
?????1???1??????0Jt??Et????t?????e??e?sin? ??e?Rsin????R?R??4.2 如题4.2图所示平板电容器。板间填充两种不同的导电媒质，其厚度分别为d1和
d2，两平板的面积均为S。若在两极板上加上恒定的电压U0。试求板间的电位
??、电场强度、电流密度以及各分界面上的自由电荷和电容器的漏电导。 EJ?解：理想电容器?1??2?0，满足的定解问题为
?2?1?0 和 ?2?2?0
以及
?1x?0?0?2x?d?d?V0?1x?d??2x?d1211?1??1?x??2x?d1??2?x
x?d1由直接积分法可以得到电位的通解为
?1?Ax?B 和 ?2?Cx?D
由?1x?0?0和?2x?d1?d2?V0可以确定出B?0及D?V0?C(d1?d2)，则上式电位的表达式为
?1?Ax 和 ?2?Cx?V0?C(d1?d2)
利用电位在介质分界面的边界条件，则确定出
A?因此电位分布为
?2V0?2d1??1d2C??1V0
?2d1??1d2?1??2V0?1V0(???)dVx 和 ?2?x?2110
?2d1??1d2?2d1??1d2?2d1??1d2而对应的电场强度和电位移矢量为 ??E1??ex以及
?2?1d2??2d1??V0 和 E2??ex?1?1d2??2d1V0
??D1??ex??根据静电比拟法E?E???1?2?1?2?V0 和 D2??exV0
?1d2??2d1?1d2??2d1??D?J??????得到对平板电容器内恒定电场的电位为
??1?电场强度为
?2V0?1V0(???1)d1V0 x 和 ?2?x?2?2d1??1d2?2d1??1d2?2d1??1d2??2?1?V0 和 E2??exV0
?1d2??2d1?1d2??2d1??1?2?1?2?V0 和 J2??exV
?1d2??2d10?1d2??2d1??E1??ex电流密度矢量为
??J1??ex此时的电流称为电容器的漏电流，对应的电导称为电容器的漏电导G，有
????J?dS?E?dS?1?2SI????SS S——极板的面积 G????????V?E?dl?E?dl?1d2??2d1CC 1
4.3 如题4.3图所示矩形导体片的电导率为?，试求导电片上的电位分布
以及导电片中各处的电流密度。 解：根据题意，定解问题为
以及 ?x?0?0 ?x?a?2??0
πy?U0sin?2by?0?0 ???n?0
y?b于是可以将通解直接选为
?(x,y)?(C1sinh|ky|x?C2cosh|ky|x)(D1sinkyy?D2coskyy)
由?y?0?0得到D2?0，则
?(x,y)?(C1sinh|ky|x?C2cosh|ky|x)sinkyy
由
???y?0得到coskyb?0，即ky?y?b(2n?1)π,n?1,2,?。因此 2b?(x,y)???Cnsinh由?y?0?n?1??(2n?1)πx(2n?1)πx?(2n?1)πy ?Dncoshsin?2b2b2b???0得到Dn?0，于是
?(x,y)??Cnsinhn?1(2n?1)πx(2n?1)πy sin2b2b再由
???y?U0sinx?aπy可以得到 2bπy?(2n?1)πa(2n?1)πy U0sin??Cnsinhsin2bn?12b2bU0比较系数法可以得到C1?，而其余的系数均为零。因此，导电片上电位分布为
πasinh2bU0πxπy ?(x,y)?sinhsinπa2b2bsinh2b????利用E????和J??E可以计算出导电片上各处电流密度分布为
???????????J??E?????????ex?ey??y???xπxπy?ππxπy?
??excoshsin?eysinhcos?πa?2b2b2b2b2b??2bsh2b??4.4 在电导率为?的无限大导电媒质中流有电流密度J?J0ex的恒定电流。今沿z轴方向挖一半径为a的无限
??长圆孔。试求空间各处的电位?、电场强度E和电流密度J。
?U0??π?J解：在圆柱坐标系下，均匀电流密度J产生的电位为?0?cos?，因此存在空腔的媒质中电位?(?,?)的定解
?问题为
?2??0
以及
??????0 和 ???a?????J0??cos?
根据分离变量法可以得到问题的通解为
?(?,?)?A0?B0ln???[?n(Ansinn??Bncosn?)???n(Cnsinn??Dncosn?)]
n?1 2
Ja2J代入边界条件可以得到A??02?，B?aA??0?，即
(?,?)??J0a2??(???)cos?
而电流密度为
J???E????????????????1?e??????????e?????ez?z??22
?J??a?a?0??e?(1??2)cos??e?(1??2)sin???4.5 如题4.5图所示，厚度为d的扇形弧片由两块大小相同但电导率不同的金属片构
成。弧片的内外半径分别为R1和R2。当以AB和CD作为电极时，加上恒定的电压U0后，试求弧片上的电位分布、分界面上的面电荷密度以及极板间的电阻；若
以?AD和?BC作为电极，结果又如何？ 解：弧片内电流只有e??????分量，即J1?J1e?，J2?J2e?。根据边界条件J1n?J2n可以
得到J1?J2，即?1E1??2E2。而
U?CDABE??e?π/4π/2π0???dl???0E2?d???π/4E1?d???(E1?E2)?
可以解得 E?44?2U0??4?1U0?1?π(?e?E2?π(?e?
1??2)?1??2)?金属片1中的电位分布为
?P???4?1U01???ABE?e?dl???0E2?d??π(??? 0???π
1?2)4金属片2中电位分布为
?PE??e?l??[?π/42???ABE?d?????d2E4?2U0(???)0π/41?d?] ?π(????12U0?? π???π
1?2)(?12)42面电荷密度为 ??0?0?S??????J??4?0(?2??1)U0 2??0(E2?E1)?1??(?1??2)?电流为 I??SJ??dS???b4?2?1U04?2?1U0Raπ(?1??2)?d?d??π(?ln2
1??2)R1根据电阻的定义可得 R?UI?π(?1??2)14?
2?1U0lnR2R1当电极改置于内圆弧和外圆弧，则E1?E2，即?1??2，因此电位?仅为r的函数，
1d???dr?d???d????0?(R1)?U0 ?(R2)?0 因此电位分布为 ?(r)?U0ln(Rln(R2/?) R1???R2 2/R1)于是有 JEd?1U0d?2U01??11???1d??(r)??ln(RJ2??2E2???2d??(r)??ln(R 2/R1)2/R1)因此，总电流为
I??Jππ(?1?S1dS??SJ2dS?J1214?d?Jπ?2)U0d24?d?4ln(R) 2/R1阻抗为
R?4ln(R2/R1)π(???
12)U0d
3
4.6 球形电容器的内球半径为a，外球壳的内半径为b。将两种不同的 导电煤质分别填入两个半球，两种导电煤质的 电导率分别为?1和?2。求该电容器的漏电阻。
解：设在r?a上电位为U，r?b上电位为零。根据题意，电位?仅为r的函数，因此定解问题为
1d?2d??r2rdr?dr因此，通解为
???0??(a)?U C?D rD?aU a?b ?(b)?0
???根据边界条件可以得到
C?因此
abUa?b??在两种煤质中电流密度分别为
abU?11???? b?a?rb?J2??2E2?abU?2
b?ar2J1??1E1?因此总电流为
abU?1b?ar2I??J1dS??J2dS?S1S22πabU(?1??2) b?a于是电容器的漏电阻
R?b?a1 ?2πab(?1??2)???2??4??A/m，试求导体中的总电流。 4.8 半径为a?1cm的圆柱形导体内的磁场H?e?4.77?10???2?22?10????e?ez?e?????????3???1???H?????ez?ez4.77?10?4?1?解： J???H? ?2??????z???2?10??H??H?Hz??2π0.013???I??J?dS???4.77?10?4?1??d??0 ?2?S00?2?10?4.14 已知某一电流分布的矢量磁位为
??2??A?exxy?eyy2x?ez4xyz
?解：利用矢量磁位A满足的泊松方程来求出电流分布为
2????2Ax??Ay??2Az??2J???A??ex?e?e??e2y?eyzxy2x 222?x?y?z?求该电流分布及其对应的B。
??B???A由可以求出磁感应强度为
????Az?Ay????Ax?Az?2????Ay?Ax?B???A?ex??????ey???yx?ez??y?z?z?x?x?y? ??????????ex4xz?ey4yz?ez(y2?x2)
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