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(b1(t??t),b2(t??t))?T(b1(t),b2(t)) （4-12） 其中线性变换T的雅可比矩阵
??41b?1??1?a1(r1k1 ?b2???1a22b)2??2a1b1
1?a2(r2k2??4b2?2?b? ?) （4-13）
1?1
稳定的。通过计算可以得到该雅可比矩阵的特征值用r1,r2,k1,k2,?1,?2,a1,a2表达，因而可以通过选择变量a1,a2的值来保证雅可比矩阵的特征值的绝对值小于1，就能够确保纳什均衡的部分稳定。
[9]
如果(4-13)特征值的绝对值小于1，那么此动态博弈的纳什均衡是部分逐渐
根据公式(4-11)，在纳什均衡点有:
?ibi(t)??jbj)?0,j?i,j,j?1,2 需要:aibi(t)(rkii?2 求解公式(4-11)，得到?b1,b2?有四组解，分别为: (0,0),(0,)?, bi(t??t)?bit(i1 , （4-14）
r1k1rk2rk1?rk?2rk21121k22r),(2,0),(,2) （4-15） ?2?13?13?2 如果主用户选择适当的参数?1，?2，使最后一个解中两个值都大于0，那么这个解就是纳什均衡的解。
4.3 仿真和分析
在论文中采用MATLAB仿真工具进行该算法的仿真。假设认知网络中只有一个主用户，授权频谱数为15，且存在N=2个认知用户参与竞争。假设两个认
tar?4知用户的目标误码率均为BERi?10，每一个认知用户使用单位频谱时的收益
设为ri?10。初始频谱设为b1(0)?b2(0)?1。
图4-2显示了两个认知用户在不同信噪比??1,?2?下共享到频谱的变化。设公式(4-10)的?j=1, ai=0.08。当?2不变，?1由l0dB增加到12dB时，认知用户1共享到的频谱是增加的;而随着?2的增加，认知用户1共享到的频谱在?1=l0dB和
?1=12dB分别呈现出两条近似平行的下降曲线。当?1不变时，认知用户2共享到
的频谱呈现出一条随着?2的增加而上升的曲线，而当?2不变时，?1由l0dB增加到12dB时，认知用户2共享到的频谱是减少的。当?1= ?2=l0dB时或者当?1=
?2=12dB时，认知用户1和认知用户2共享到的频谱曲线各相交于一点。由此得
出结论：若认知用户1的信噪比增大，认知用户1共享到的频谱会增大，而认知用户2共享到的频谱会减少。若认知用户1不改变信噪比，认知用户2逐渐变大 信噪比，认知用户1会不断减少共享的频谱，而认知用户2会不断变多共享的频 谱,此结论由公式(4-10)也可以得证。
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图4-2 两个认知用户在不同信噪比下共享频谱的情况
图4-3显示了当认知用户1信噪比不同，认知用户2的信噪比发生变化时，两个认知用户的收益。设公式(4-5 )中的?j=1, ai=0.08。当?2不变，?1由l0dB增加到12dB时，认知用户1的收益是增加的;而随着?2的增加，认知用户1得到的收益在?1=l0dB和?2=12dB分别呈现出两条下降曲线，收益差距越来越小。当
?1不变时，认知用户2的收益呈现出一条随着?2的增加而上升的曲线，而当?2不?1由l0dB增加到12dB时，变时，认知用户2得到的收益是减少的。当?1=?2=l0dB
时或者当?1=?2=l2dB时，认知用户1和认知用户2的收益曲线相交于一点。由此得出结论:当认知用户1未发生信噪比的改变，认知用户2信噪比缓慢变大时，认知用户1的利润会缓慢减少，但是认知用户2的利润会逐渐增大。当认知用户1的信噪比逐渐变大，认知用户1的利润会变多，而认知用户2的利润则会变少，此结论由公式(4-5 )也可以得证。
图4-3 两个认知用户在不同信噪比下收益情况
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第5章 多个授权用户和认知用户频谱共享策略
线电频谱共享环境中，多个认知用户和多个授权用户的环境将更常见。本章将结 合超模博弈来研究多个认知用户和多个授权用户的频谱共享策略。
第4章主要研究多个认知用户和一个授权用户的频谱共享策略，在实际的无
5.1 系统模型
本章研究的频谱共享模型如图5-1所示，假设一个系统存在M个授权用户和N个认知用户，M个授权用户工作在不同的频段Fi上，其中第i个授权用户得到的授权频段为Wi，其工作时所需的频段为Bi，授权用户为了获取额外的收益，寻找空闲频谱，再以一定的单位价格Pi“租借”给认知用户。认知用户通过频谱监测技术检测到授权用户的空闲频谱，如果能够接受授权用户的单位频谱价格，则共享其频谱，因此，该系统交易的商品就是空闲频谱。授权用户都愿意向认知用户出租空闲频谱，因此，授权用户之间通过激烈的竞争来争取认知用户“租赁”更多的频谱资源，从而获得更多的额外收入，当其空闲频谱趋近饱和后，将提高单位频谱价格，认知用户便会自行退出该频谱。
[10]
图5-1 多个授权用户和多个认知用户的频谱共享模型
我们将研究的含有多个主用户和多个次用户的认知无线电网络进行简化。首先分析次用户请求的频谱带宽对主用户收益的影响，主用户为获得最大收益该如何选择最佳单位带宽定价，主用户根据预测的次用户可能的请求带宽得出最佳单位带宽定价具有可取性；接着在主用户给定单位带宽定价的前提下，分析次用户收益除受到请求带宽大小和频谱效率的影响外，受到来自其他次用户请求的频谱 带宽的影响，分析表明，次用户相互合作比相互竞争能够使各方得到更大收益，说明考虑次用户的收益受到次用户间相互竞争的因素影响是有必要的；最后分析次用户在静态博弈、动态博弈和相互合作时选择最佳请求带宽以获得最大收益的
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方法，分析表明，次用户在静态博弈、处于稳定区间的动态博弈或相互合作时，都能使各自的请求带宽达到纳什均衡点，从而使收益达到最大。
5.2 无线传输频谱共享系统
认知无线电网络中大多存在多个主用户和多个次用户，主用户拥有频谱的使用权，次用户需要从某一主用户租借频谱带宽。文献[11]指出，多个主用户整合各自的频谱资源，作为一个整体向次级用户提供带宽时，主用户会获得更多的收益，次用户得到的服务质量将会提高，频谱接入费用也会减少。因此，这里将所有主用户视为一个合作的整体，称之为主系统，这样认知无线电网络就简化为由一个主系统和多个次用户组成的系统。
5.3 博弈策略
5.3.1 主系统的最佳带宽定价
主系统的单位带宽定价受所有次用户请求的总带宽影响，主系统需要根据预测的次用户请求的总带宽来制定单位带宽定价，以获得最大收益。所有次用户的总收益与所获得的总带宽呈非线性关系。虽然次用户得到带宽越多，传输数据得 到的收益越多，但是主系统会相应提高单位带宽定价，使得次用户的频谱接入费用提高。次用户的收益一般是关于其获得的带宽的凸函数，这里假设次用户的
[12]
总收益函数为
? US(b)?cb?pb,0?b?bmax （5-1）
其中，p为主系统的单位带宽定价，b为所有次用户请求的总带宽，c为大于0的常数，τ为取值区间为(0,1)的常数，bmax为所有次用户需要的最大带宽。次用户的收益不会小于0，因此 US(b)总是不小于0。次用户调整向主系统请求带宽的大小，以获得最大收益。由US(b)＝0，得到次用户总收益最大时的请求带宽为
1'p? B?????c????1 （5-2）主系统向次用户租让带宽获得收益的同时，得到的服务质量会下降。设服务质量
损失为每单位带宽w，次用户请求带宽 B，则主系统的收益函数为
Up(p)?pB?wB （5-3）对上式进行一阶求导得： 由式(5-2)得dUp(p)dp?B?(p?w)dB （5-4） dpdp'(b)＝0，得到使主系统获得最?c?(??1)B??2，代入上式，并令USdB大收益的最佳单位带宽定价应为:
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p?w?B 5.3.2 次用户的静态博弈
dp??1?w?c?(??1B) （5-5） dB 主系统确定单位带宽定价后，向次用户提供的总带宽将保持不变。在这种情况下，每个次用户请求带宽的大小要受到其他次用户请求带宽大小的影响，这里用参数? 表示影响的程度。?取值范围为[0, 1]，当 ?=0 时，次用户不会受其他次用户请求带宽的影响，?=1时，次用户受其他次用户请求带宽的影响达到最大。
作为数据发送方的次用户i从主系统获得带宽bi后，调整数据传输速率，如果收益为每单位传输速率?i，则次用户i的频谱传输效率为
?K?i ) （5-6） ki?lb(1其中，K为由接收方误码率门限决定的常数。如果主系统采用最佳单位带宽定价 P，次用户得到的带宽间的保护带宽忽略不计，则次用户i的收益函数为
?12???1 Ui??ikibi?bi[w?c?(??1)B]???bi?bi?bj? （5-7）2j?i??其中，b为所有次用户请求的总带宽，即b??bi，N 为次用户个数。具体纳什
i?1N均衡算法见文献[13]，这里给出结论。从式(5-7)得到次用户i的最佳请求带宽为
w??iki?c?(??1)B??1??b （5-8) b?c?(??1)2b??2*i其中，b由下式求得：
c?(??1N)?(??b1?)N?b?Nw???iki??1i?1N
(5-9）
5.3.3 次用户的动态博弈
动态博弈开始时，次用户尝试请求比较少的带宽，然后慢慢增加请求带宽，同时，主系统不断调整单位带宽定价，最终，次用户和主系统的收益都达到博弈时的最大点。设bi?t?为次用户i在时刻t请求的带宽，Ui?t?为次用户i在时刻t获得的收益，以下分2种情况讨论。完全信息动态博弈时，次用户i根据在上一个时刻t其他次用户请求的带宽大小，计算得出时刻t 的最佳请求带宽，把它作为在t+1时刻的请求带宽，即：
* bi?t?1??bi?t? （5-10）
不完全信息动态博弈时，次用户i在时刻t试探性地对请求带宽进行略微变化，得到收益与请求带宽的变化关系?Ui?t??bi?t?，在t+1时刻的请求带宽为 14