第二章单元自测题答案
一 、判断题1．√； 2．Χ； 3. √； 4.Χ； 5．Χ； 6．√．
二、 选择题1．（C）；2．（A）；3．（B）；4．（D）．
三 、计算题
1．解 当x?0时，f?(x)?(exsinx)??exsinx?excosx?ex(sinx?cosx)，
同理，当x?0时，f?(x)?2x?1。当x?0时，
x2?x?0f?'(0)?lim?lim(x?1)?1， ?x?0?x?0x?0exsinx?0xsinxf?'(0)?lim?lime?1 x?0?x?0?x?0x从而f?(0)?1．即
?ex(sinx?cosx),x?0 f(x)??．
2x?1,x?0? 2．解 利用连锁规则
x?tan3(2x?1))? 2x??)3(txa?n(?2 ?(xarcsin 2y??(xarcsin1))x ?arcsin?x21x1?()221x1?()221?3tan2(2x?1)(tan(2x?1))? 2x ?arcsin?x21?3tan2(2x?1)sec2(2x?1)2 2xx?6tan2(2x?1)sec2(2x?1)． ?arcsin?24?x2 3．解 利用连锁规则 y??2f(x2)(f(x2))? ?2f(x2)f?(x2)2x ?4xf(x2)f?(x2)．
4．解 取对数
2 lny?xln? )(1x再对方程两端关于x求导，
11y??ln(1?x2)?x(2x) y1?x22x22x2]． y??(1?x)[ln(1?x)?1?x2 5． 解 取对数
11 lny?ln(x?5)?ln(x2?2)
26再对方程两端关于x求导，
111y???(2x)y2(x?5)x62(?2)
x?51xy??[?]2322(x?5)3(x?2)x?2
6． 解 先求一阶导数
2? y??2xlnx?x?2sinxx4 ?2xlnx?x?2sin，
再求二阶导数
coxs? 22?1 y???2lnx??2cox?s 4x??38cox．s4 ?2ln
7． 解 方程两端同时对x求导，得
eyy??y??1 从而
y??再求导，得
dy1?y， dxe?1d2yeyy?ey ． ??y??y223dx(e?1)(e?1) 8． 解 先求微分，得
dy?(et?tet)dt
dx?(2t?2)dt从而有
dy(et?tet)dtet?tetet ???．
dx(2t?2)dt2t?22再求出二阶导数
dy)dy1et1etdx ． ?????dx22t?24(t?1)dx2dtdt1 9． 解 y?ln1?x2?ln(1?x2)，
212xx? y???， 2221?x1?xxdx． 所以dy?y?dx?1?x2四、应用题
2d( 1． 解 曲线y?f(x)过(1,0)点，即有f(1)?0，
f(1?2x)f[1?(?2x)]?f(1)?lim?(?2)??2f?(1)?1，
x?0x?0x?2x11所以f?(1)??，即所求切线斜率为k= ?，从而切线方程为
2211 y??x?．
22 2． 解 圆的面积
因为lim S??R2，dS?2?RdR
取R0?10，?R?0.4，则
?S?dS?2?R0dR?2?R0?R?2?3.14?10?0.4?25.12cm2．
五、 证明 首先求出一阶导数和二阶导数 y??f?(ex)?ex
xxx y???f(?e)?e?f??(xe)?2 e从而
??xe?x) y???y??f(?xe)?xe?f()2?xe?(fe ? ?f??(ex)?e2x．
xe