a（5）Dn性质4按第一列abbab
1a?bab1a?b1aba?b0a?bab?1a?b1aba?b其中：
aab1a?bab1a?b
1aba?bc2?c1???b?c3?c2???b?a1a1a1a?bn
?an
cn?cn?1???b??Dn?an?bDn?1?an?b?an?1?bDn?2??5．证明
?an?ban?1?b2an?2?（1）若行列式D??(aij)中每一个数aij分别乘以 bi?j(b?0)，则所得行列式与D相等；
a2b2（2）2cd2?a?1?2?a?2?22(b?1)2?b?2?2(c?1)2?c?2?2(d?1)2?d?2?1a100a11b1?1?a?3?2?b?3?2?c?3?2?d?3?2?0；
a01（3）110a20a12b1?2a22b2?2an2bn?2100?a1a2ana1nb1?na2nb2?nannbn?n每一行提一个公因子性质3an(a0??i?1n1) ?a1a2aian?0?
1a11b?1bb12a12b?2a22b?2an2b?2a1nb?na2nb?nannb?n
证明（1）a21b2?1an1bn?1bna21b?1an1b?1a11每一列提一个公因子性质3a12a22an2a1na2nann?a11a21an1a12a22an2a2c4?c3c3?c2a1na2nann2a?1222b?122
2c?1222d?122b1b2bn?b?1b?2b?na21an1?D
a22b（2）c2d2
?a?1?2?b?1?2?c?1?2?d?1?2?a?2?2?b?2?2?c?2?2?d?2?2?a?3?2?b?3?2?c?3?2?d?3?2a2c4?c3c3?c2c2?c12a?12a?32a?52b?12b?32c?12c?32b?52c?5b2c2d2b2c2d22d?12d?32d?520
推论40
na01（3）11a10010a20100ana0??i?11c1?ci,2?i?n?1ai?11ai1a10010a20100an
0001?a1a2n?1?an?a0???i?1ai???a1a2an?0?
6．证明第三节推论4.
证明：设D的i,j两行元素对应成比例，则
a11ai1D?kai1an1证明：D?a12ai2kai2an2a1nainkainannta11ai1kai1a12ai2ai2a1nainainannt性质3推论1k?0?0.
an1an2apnn?7．证明第三节性质4.
p1???1?pnp1pnap11ap22tp1???1?pnp1pnap11t?bpjj?cpjj?apnn
????1?ap11bpjjapnn????1?ap11cpjjapnn?D1?D2
证毕.
8．证明上三角行列式等于对角线上元素的乘积.
证明：D?a11a120a2200a1na2nann，由行列式的定义知，第一列只有a11为非零元，而第二列
除第一行外，只有a22为非零元，同理依次进行.则D???1?a11a22逆序数，为0，?D?a11a22tann，其中t为1,2,,nann. 证毕.
21
第二章 矩阵
1．填空题
?a11??3??b???????（1）已知?301??a?=?6?，则a= 0 ；b? -3 .
?02?1???3???b????????a11??3??b??3a?a?3?0?4a?b?3?a?0???????301a?6?9?3?6??解：?. ????????2a?b??3b??3????02?1???3??b????????2a?3??b?0?10???0?，（2）设A??10则A2010?3A2=
?00?1????200???020???00?2???.
?0?10???1??1???2????0?，A???1?，A4??1??E， 解：A??10?00?1???1?1????????2???A2010?3A2?A2008?2?3A2?A2?3A2??2A2??2?.
??2???（3）若A,B均为3阶方阵，且A?2，B??2E，则AB? -16 . 解：AB?A?B?2??2E3?3?2???2??E??16.
3A3?2A1?A1???（4）A为3阶方阵，且A=?2，A=?A2?，则3A2= 6 .
?A?A1?3?其中A1,A2,A3分别为A的1、2、3行.
A3?2A1解：
A32A1A3A13A2A1?3A2?3A2?3A2?0??3A2??3A?6. A1A1A1A3T（5）已知?=（1，1，1），则|?? |= 0 . 22
111?1???解：?T??1?111??111?0. ???1?111???101???2A（6）设=?020?满足AB?A?B?E，则B??201???12?.
22解：AB?A?B?E?A?EB?A?E??A?E??A?E?B?A?E
??两边取行列式得：
A?E?A?E?B?A?E，A?E?6，A?E??2 ?B??.
?0?10????210???00?2???12?110???*
（7）设A=?200?，则A=
?001???解：A11???1?1?1.
00002?113?11?0，A21???1???1，A31???1??0 010100A12???1?A13???1??A11?A???A12?A?131?220002?213?21??2，A22???1??1，A22???1??0 01012020112?313?31?0，A23???1??0，A33???1???2 000020A31??0?10????A32????210?
??A33???00?2?1?3A21A22A23?11?6?10???1?的秩为2，则a? 3 . （8）设矩阵B??25a?12?1?a???解：由B的秩为2，则B的所有3阶子式为0
11?611?611?611?625a?03a?12??015??015???a?3??0?a?3.
12?101503a?1200a?3?k?1（9）设矩阵A???1??1
1k1111k11??1?，且R(A)?3，则k? -3 . 1??k?23
解：由R?A??3知
A?0，即
k1A?111k1111k11k?3k?3k?3k?3111111k110k?100 ???k?3?111k100k?10k111k000k?13??k?3??k?1??0?k?1,?3
11若k?1，则A?111111111111，R?A??1，与已知矛盾，故k?1； 11?31111?311若k??3，则A?，R?A??3，因为有一个三阶子式
11?31111?3?3111?3111??16?0，与已知相符，故k??3. ?3*（10）A为5阶方阵，且R(A)?3，则R(A)? 0 .
解：关于原矩阵与伴随矩阵秩的关系有如下结论：
?n,当R?A??n时?? R?A???1,当R?A??n?1时
?0,当R?A??n?2时??此题中n?5，R(A)?3，故RA?0.
??证明：①若R?A??n，则②若R?A??n?1，则
A?0，A??An?1?0?R?A???n；
A?0，A有一个?n?1?阶子式不为0，于是A有一个代数余子式
??不为0，RA?1. 因为AA???AE?0，所以R?A???R?A??n【见书P110：例9】，
?R?A???1，故R?A???1；
③若R?A??n?2，则A的所有?n?1?阶子式全为0，于是A所有代数余子式全为0，
A??On?n，R?A???0.
24