取Tc2?1??2???211201???126，则Tc2??2?????3???7????3??14?12147?4???3? ??5?4???01 则A?????00012??1?????1?5，B?Tc2b?0，c?cTc2??7????4???0??1323?
3-14求下列传递函数阵的最小实现。 （1） w?s???1?s?1?11?11?1?? 1???10???1?0??0?解： ?0?1，B0???，Ac???11??0?1Bc???00??1C?，c??1??11??0D?，c??1??0
系统能控不能观
取R0?1???，则R0???01??0??R?1AR?所以A00??01??CR??Cc0??1??10???1??11??1?1?? 1???R?1B?，B0c?? 01??0??0??11?0?0???D，??0??0
?1??00???????11?，C??1，B所以最小实现为Amm??，Dm??? m100?????sI?A?验证：Cmm???1??Bm?1?s?1?111???w?s? 1?3-15设?1和?2是两个能控且能观的系统
?0?1：A1????31??0?，b?1???，C1??2?4??1?1?
?2：A2??2，b2?1，C2?1（1）试分析由?1和?2所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数； （2）试分析由?1和?2所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。 解： （1）
?1和
?2串联
?3??2x3?2x1?x2 当?1的输出y1是?2的输入u2时，x?0????3x???21?410??0x???2???0???1u，y??0????0??01?x
M???bAb?0?2Ab????1??01?41?4??13 ??4??则rank M=2<3，所以系统不完全能控。
W(s)?C(sI?A)?1B?s?2(s?2)(s?3)(s?4)?1s?7s?122
当?2得输出y2是?1的输入u1时
?0????3x???01?401??1x???2???0???0u，y??2????1??10?x
因为 M???bAb?0?2Ab????0??101?21???6 ??4?? rank M=3 则系统能控
?c??2??cA??3 因为N?????2??cA????61?250??1 ?4?? rank N=2<3 则系统不能观
W(s)?C(sI?A)?1B?1s?7s?122
（2）?1和?2并联
?0????3x???01?400??0x???2???0???1u，y??2????1??11?x
M???AAb?0?2Ab????1??11?4?2?4??13 ??4??因为rank M=3，所以系统完全能控
?c??2???N?cA??3???2??cA????61?251???2 ?4?? 因为rank N=3，所以系统完全能观
w?s??C?sI?A??1?2??2?2?s?2???s?2??22????B??s?1??s?2??s?3?
现代控制理论第四章习题答案
4-1判断下列二次型函数的符号性质：
（1）Q(x)??x12?3x22?11x32?2x1x2?x2x3?2x1x3 （2）v(x)?x12?4x22?x32?2x1x2?6x2x3?2x1x3 解：（1）由已知得
?Q(x)???x1?x2?x3?x1?3x2?12x3?x1?1????x1?x2?11x3?x22?????x3????x1x2???1?x3??1????1?1?3?12??1???x1?1????x22??????x3???11??
?1?1??1?0，?2??111?3?2?0，?3?11?3?12?1?12??714?0
?1?11因此Q(x)是负定的 （2）由已知得
?x1????x1?3x2?x3?x2????x3??Q(x)??x1?x2?x3?x1?4x2?3x3??x1x2?1?x3??1????1?14?3?1??x1?????3x2???1????x3??
?1?1?0，?2?1?1?141?3?0，?3??1?14?3?1?3??16?0 1?1因此Q(x)不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：
?a11???x?a21a12??x a22?试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。
解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。
即：
?I?A???a11?a21?a12??a222???(a11?a22)??a11a22?a12a21
?0有解，且解具有负实部。 即：a11?a22?0且a11a22?a12a21
方法（2）：系统的原点平衡状态xe?0为大范围渐近稳定，等价于ATP?PA??Q。
11取Q?I，令P???P12?PP12?T，则带入AP?PA??Q，得到 ?P22??2a11?a?12??02a21a11?a222a120??P11???1??????a21P12?0 ?????2a22????P22?????1??2a112a21a11?a222a120a21?4(a11?a22)(a11a22?a12a21)?0，则此方程组有唯一解。即 2a2222?A?a21?a22P???2(a11?a22)A??(a12a22?a21a11)若 a1201?(a12a22?a21a11)??22A?a11?a12?
其中detA?A?a11a22?a12a21 要求P正定，则要求
?1?P11?2A?a21?a22?2(a11?a22)A222?0
?2?P?(a11?a22)?(a12?a21)?4(a11?a22)?0
因此a11?a22?0，且detA?0
4-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。
???（1）x?2??11??x ?3?1??x ?1???1?（2）x????1解：（1）系统唯一的平衡状态是xe?0。选取Lyapunov函数为V(x)?x12?x22?0，则
??1?2x2x?2V(x)?2x1x?2x1(?x1?2x2)?2x2(2x1?3x2)??2x1?6x1x2?6x2??2(x1??22
32x2)?232x2?02V(x)是负定的。x??，有V(x)??。即系统在原点处大范围渐近稳定。
（2）系统唯一的平衡状态是xe?0。选取Lyapunov函数为V(x)?x12?x22?0，则
??1?2x2x?2V(x)?2x1x?2x1(?x1?x2)?2x2(?x1?x2) ??2x1?2x2?0V(x)是负定的。x???22，有V(x)??。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-6设非线性系统状态方程为：
?1?x2x?2??a(1?x2)2x2?x1,a?0x
试确定平衡状态的稳定性。
解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：
x2??f(x)??? 2?a(1?x)x?x?221?J(x)??f(x)?xT?0????1? 2??a?4ax2?3ax2?1取P?I
?Q(x)?J(x)?J(x)?0???1?0???0??0??2??a?4ax2?3ax2???1?2??2a?8ax2?6ax2?0?1? 2??a?4ax2?3ax2?1T很明显，Q(x)的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为V(x)?x12?x22?0，则
??1?2x2x?2V(x)?2x1x?2x1x2?2x2(?x1?a(1?x2)x2) ??2a(1?x2)x2?0V(x)是负定的。x???222，有V(x)??。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-9设非线性方程：