课时作业 9 离散型随机变量
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( ) A．抛掷一枚质地均匀的硬币3次，反面向上的次数 B．某射击运动员在10次射击中射中靶的次数
C．区间[0,10]内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值 D．某立交桥一天经过的汽车的数量
解析：A、B、D中随机变量的值能一一列举出来，故都是离散型随机变量． 答案：C
2．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为( )
A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈Z C．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z
解析：两次掷出点数均可取1～6所有整数，∴X∈[－5,5]，X∈Z. 答案：D
3．袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球
D．至少取到一个红球的概率
解析：袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，取到球的个数是一个固定的数字，不是随机变量，故不选A，取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0,1,2，故B正确；至少取到一个红球表示取到一个红球，或取到两个红球，表示一个事件，故C不正确；至少取到一个红球的概率是一个古典概型的概率问题，不是随机变量，故D不正确，故选B.
答案：B
4．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是( )
A．6 B．7 C．10 D．25
解析：X的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5，共计10个．
答案：C
5．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果为( )
A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚1点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点
解析：由“X≥5”知，最大点数与最小点数之差不小于5，只能选D. 答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)． ①某宾馆每天入住的旅客数量X；
1
②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X； ③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X； ④虎门大桥一天经过的车辆数X.
解析：①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．
答案：②
7．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．
解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．
答案：300分，100分，－100分，－300分
8．某射手射击一次所击中的环数为ξ(取整数)，则“ξ>7”表示的试验结果是________．
解析：射击一次所中环数ξ的所有可能取值为0,1,2，…，10，故“ξ>7”表示的试验结果为“该射手射击一次所中环数为8环、9环或10环”．
答案：射击一次所中环数为8环或9环或10环 三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)某地“行风热线”某天接到电话的个数．
(2)新赛季，梅西在某场比赛中(90分钟)，上场比赛的时间． (3)对角线互相垂直且长度分别为6和8的四边形的面积．
(4)在一次书法作品评比中，设一、二、三等奖，小刚的一件作品获奖的等次．
解析：(1)接到电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，所以是随机变量．
(2)梅西在某场比赛中上场比赛的时间在[0,90]内，是随机的，所以是随机变量． (3)对角线互相垂直且长度分别为6和8的四边形的面积是定值，所以不是随机变量． (4)获奖的等次可能是一、二、三，出现哪一个结果都是随机的，所以是随机变量． 10．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．
(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片较大编号为ξ；
(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为ξ.
解析：(1)ξ的所有可能取值为2,3,4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大编号为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4，或2和4，或3和4.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．袋中装有10个红球，5个黑球．每次随机摸取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若摸球的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是( )
A．ξ＝4 B．ξ＝5 C．ξ＝6 D．ξ≤5
解析：“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.故选C. 答案：C
12．抛掷两枚硬币，则对于样本空间Ω＝{ω11，ω12，ω22}(其中ω11表示两枚花均向上，ω12表示一枚花向上，一枚字向上，ω22表示两枚字均向上)，
2
0，ω＝ω22，??定义：ξ＝ξ(ω)＝?1，ω＝ω12，??2，ω＝ω11. 则随机变量ξ的取值表示结果的意义是________． 解析：由定义可知，当两枚字均向上时，ξ＝0，当一枚字向上，一枚花向上时，ξ＝1，当两枚花均向上时，ξ＝2，因此ξ的含义就是表示抛掷两枚硬币花向上的硬币数． 答案：表示抛掷两枚硬币花向上的硬币数 13．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ， (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值； (2)若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型． 解析：(1) ξ 0 1 2 3 取得1个白球2个取得2个白球1个结果 取得3个黑球 取得3个白球 黑球 黑球 (2)由题意可得η＝5ξ＋6， 而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}， 所以η对应的各值是6,11,16,21. 故η的可能取值为6,11,16,21，显然η为离散型随机变量． 14．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，一等奖500元，二等奖200元，三等奖10元．抽奖规则如下：顾客先从装有2个红球，4个白球的甲箱中随机摸出两球，再从装有1个红球，2个黑球的乙箱中随机摸出一球，在摸出的3个球中，若都是红球，则获一等奖；若有2个红球，则获二等奖；若三种颜色各一个，则获三等奖，其他情况不获奖． 设某顾客在一次抽奖中所得奖金数为X，试写出X的可能取值以及每种取值对应的试验结果数． 解析：X的可能取值为500,200,10,0. 21当X＝500时，试验结果数为C2C1＝1(种)， 21111当X＝200时，试验结果数为C2C2＋C2C4C1＝10(种)， 111当X＝10时，试验结果数为C2C4C2＝16(种)， 21当X＝0时，试验结果数为C6C3－(1＋10＋16)＝18(种)． 3