15.4.2 公式法课堂实录
师：同学们好！ 生：老师好！
师：首先检查一下预习情况！在预习的过程中能够有没有碰到不会的问题？
生：在计算题的第一题我就碰到了困难．我觉得应该有简便方法，可是我又想不出来，我是直接算的，有点麻烦！
生：我有好方法介绍给你．
1、原式?20082?2?2008?2007?20072??2008?2007??12?1师：大家觉得他的方法怎样？觉得简单的给他掌声．（掌声不断） 师：“数学来源于生活，也应用于生活”．双休日，装潢师傅出了这样一道题：要在一个边长为
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12.75cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25cm的正方形，剩余部分的面积是多少？不使用计
算器，你能计算出来吗？
我这样解的： 12.752?7.252 ???? ①
??12.75?7.25??12.75?7.25? ???? ②
?20?5.5?110?cm2?．
根据上面的计算，思考下面的问题：
（1）由②到①属于 ；应用了 公式； （2）由①到②属于 ；逆用了 公式；
（3）由因式分解和整式乘法的互逆关系，类比猜想因式分解中的平方差公式是： （4）运用平方差公式分解因式的多项式特征是： 生：这很简单啊！
（1）由②到①属于 多项式相乘 ；应用了 平方差 公式； （2）由①到②属于 因式分解 ；逆用了 平方差 公式；
（3）由因式分解和整式乘法的互逆关系，类比猜想因式分解中的平方差公式是：
a2?b2??a?b??a?b?
（4）运用平方差公式分解因式的多项式特征是：两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式 师：（掌声）很好！今天我们就来学习用公式因式分解，首先介绍的是平方差公式．
〖评析〗这是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，让学生进一步感受到整式乘法与分解因式的互逆关系．
下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是？
出示问题：下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是
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A．a2?(?b)2 B．5m2?20mn C． ?x2?y2 D．?x2?9 生：A．B．C．都不能，D．?x2?9=?x?3???x?3? 师：很好，能告诉我，你是怎么判断的呢？
生：平方差公式分解因式的多项式应满足的条件：
师：你真棒！大家看下面这个问题．
出示问题：2．??2a?b??2a?b?是下列哪一个多项式的分解结果 A．4a2?b2 B．4a2?b2 C．?4a2?b2 D．?4a2?b2
2222?(4a?b)，再因式分解为??2a?b??2a?b?．?4a?b生：我认为选D, 先提取负号，变为
师：你观察的很仔细！下次因式分解时我们也可以采用你的方法．
下面有道练习题向我们同学提出了挑战，看你掌握知识的情况： 出示问题：3．下列用平方差公式分解因式正确的是
A．?x?4y???x?2y???x?2y? B．?x?4y???x?2y??x?2y?
2222C．x?4y??x?2y??x?2y? D．?x?4y??2y?x??2y?x?
2222学生：可以用平方差做的是D，?x?4y可以交换一下两个单项式的位置，变为4y?x然后运用平方差公式分解因式??2y?x??2y?x?
师：你的方法和刚刚那名同学不一样，有特点，很聪明，请坐！
〖评析〗在学习了用平方差公式分解因式后，再观察与平方差公式结构类似的几个变式，判断能否运用平方差公式进行分解因式，达到检验．巩固和学以致用的目的，培养了学生有条理思考及语言表达能力．
师：接下来我们来看看如何用平方差公式来做因式分解的题目，注意过程． 出示问题： 例3 分解因式
（1）4y?9
（2）?x?p???x?q?
2222222师：这两题怎么分析？
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生：在（1）中，4x2 = （2x）2，9=32，4x2－9 = （2x ）2 –3 2，即可用平方差公式分解因式． 教师板演：解：（1）4x2 – 9
= （2x）2 – 3 2 = （2x+3）（2x－3）；
22生：第（2）中把?x?p?和?x-p?看成一个整体，设x?p?m,x?q?n,则原式转化为m?n，
再因式分解为?m?n??m?n?，最后还原成?2x?p?q??p?q?
教师板演：（2）（x+p） – （x+q）
= [（x+p）+（x+q）] [（x+p）–（x+q）] =（2x+p+q）（p－q）．
师：在运用平方差公式因式分解时，一定要多观察多项式的特点，是否可以写成两个数的平方差的形式． 〖评析〗
通过例3的教学，进一步巩固平方差公式分解因式的应用，培养学生符号运算的能力，进一步培养学生逆向思维和勤于观察的习惯，体现了本节课的重点 出示问题：例4 分解因式
（1）x4?y4
3（2）ab?ab
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师：下面这两问题稍微有点难度，我们来挑战一下！ 出示问题：例4 分解因式 （1）x?y
3（2）ab?ab
44师：如何处理指数为4次的二项式？ 生：将x?y分解为x?y444?22??x2?y2
?师：你很聪明，但是将x?y分解为x?y生：嗯···好像没有？ 师：为什么？
生：x2－y2不是还可以因式分解吗？
4?22??x2?y2就可以了吗？
?师：太厉害了，x?y应当分解两次，分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．
3第（2）题将ab?ab分解因式能直接运用平方差公式吗？
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生：不能，a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解．
师：由此可以得出什么结论？
生：因式分解的方法不是孤立的，要综合起来用，在运用公式法分解因式前，先观察一下可不可以提公因式．
师：你说的很有道理，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用公式分解因式.请同学来板演．
学生板演：（1） x4－y4= （x2+y2）（x2－y2）= （x2+y2）（x+y）（x－y）；
（2）a3b－ab = ab（a2－1）= ab（a+1）（a－1）．
〖评析〗通过（1）小题的教学，意图是让学生探究出运用幂的乘方逆运算将4次指数“降”为2次指数，从而转化成两数平方差的形式，进一步培养了学生的数感，在进一步了解平方差公式因式分解后，还可以继续运用平方差公式进行二次分解，此例很好的解决了“分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止”的要求，也突破了本节课的难点之一．
在（2）小题中，初步体现了将前面所学到的因式分解的方法和新学的方法灵活运用，意在传递给学生这样一个信息：分解因式的方法不是孤立的，而是可以一起综合应用的．这样让学生初步意识到知识承上启下的关联作用．
师：你能将多项式a2?2ab?b2与a2?2ab?b2分解因式吗？ 生：a?2ab?b?(a?b)．a?2ab?b?(a?b) 师：你为什么回答的这么肯定？
生：因为乘法公式中有（a?b)(a?b)，那（a?b)(a?b)?a2?b2，它的逆运算就是a2?b2=
222222么完全平方公式(a?b)=a?2ab?b的逆运算不就是a?2ab?b?(a?b)吗？
222222师：你的推理很正确，观察一下，这两个多项式有什么特点？ 生1：是三项
生2：有两项能够写成平方和的形式
师：说得很好，其他同学有没有补充的？ 生：还有一项是两个数的乘积的2倍
师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？ 生：不是，而是刚才两项的底数．
师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征．再请一位同学来综合一下．
生：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍．右边是两个数的和或差的平方．
师生共同总结：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．即a?2ab?b?(a?b)
2222同时归纳完全平方式的定义：把形如 a?2ab?b和a?2ab?b的式子叫作完全平方式．
222〖评析〗让学生经历观察．类比．归纳．概括的过程，探究出将乘法公式逆用就能解决问题，再
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来归纳出分解因式的完全平方公式．发展了学生的逆向思维和分析能力和推理能力，增强学生的符号感，发展了学生有条理地思考的能力．
师：判断下列各式是不是完全平方式，并说出理由．
出示问题：判断下列各式是不是完全平方式，并说出理由．
(1)a2?4a?4 (2)x2?4x?4y2 (3)4a2?2ab?b2 (4)a2?ab?b2 (5)x2?6x?9 (6)a2?a?0.25
生：第一题是完全平方式．有三项，其中有两项正且能写成平方的形式，另一项是减去这两个数的积的2倍．
生：第二题是完全平方式，有三项，其中有两项正且能写成平方的形式，另一项是加上这两个数的积的2倍．
生：第三．四题不是完全平方式，因为中间一项不是两个数的乘积的2倍．
生：第五题是完全平方式．三项，有两项能写成平方的形式，另一项也是两个数的积的2倍． 师：其它同学同意他的意见吗？有没有补充的？
生：这一题不是完全平方式，虽然有两部分能写成平方的形式，但这两项不是平方和 师：同意他的意见吗？ 生齐答：同意． 生：第六题是的．
师：看来我们在观察一个多项式是否符合完全平方式的特点时，不仅要找有没有两项能够写成平方的形式，同时还要看这两项的符号是否同为正，更要看另一项是不是这两数的积的2倍．像刚才的第3题和第4题，第5题都只满足特征中的一部分．
〖评析〗在学习了用完全平方公式分解因式后，再观察与完全平方结构类似的几个变式，判断能否运用完全平方式进行分解因式，达到检验．巩固和学以致用的目的，培养了学生有条理思考及语言表达能力． 例5 分解因式
222（1）16x?24x?9； （2）?x?4xy?y
师：如何分析？
222生：在（1）中，16x2??4x?，9?3，24x?2?4x?3，所以16x?24x?9是一个完全平方22式，16x?24x?9＝?4x?3?
22教师板演：16x?24x?9??4x??2?4x?3?32.
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