1.2极限问题的类型
数列极限定义 设{an}为实数数列，a为定数，任意???，总存在正整数N,使得当n?N时，有an?a??，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限.
不等式an?a??刻画了an与a的无限接近程度，?愈小，表示接近得愈好；
而正数?可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度. 然而，尽管?有其任意性，但一经给出正整数N,?就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出?，又?既是
?, ?的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中不定式2?an?a??中的?可用, ?的平方等来代替. 同时，正由于?是任意小正数，我
2们可限定?小于一个确定的正数.
任意小的正数，那么
函数极限定义 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数?，总存在正整数d，当x满足不等式0?x?x0?d时，对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)?A??，那么常数A就叫做函数f(x)当x?x0时的极限，记作limf(x)?A.
x?x02.常见的极限求解方法
数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，本章将介绍几种常见的极
限求解方法，这些方法均有各自的特点，因为这些常见的方法是研究极限求解的基础，需要我们去深刻的理解并扎实的掌握.我们罗列出一些常用的求法. 2.1简单求极限的方法
我们知道，在同一趋近过程中，无穷大量的倒数是无穷小量；有界量乘以无穷小量等于无穷小量；有限个（相同类型）无穷小量之和 、差、积仍为无穷小量，以及利用函数的连续性可以求出某些函数的极限.
例1 求极限limx?14x?7. 2x?3x?2解 当x?1时，分母的极限为0，而分子的极限不为0，可以先求出所给函数的倒数的极限
3
x2?3x?21?3?2??0, limx?14x?74?7利用无穷小量的倒数是无穷大量，故 limx?14x?7??. 2x?3x?2x2sin例2 求极限limx?0sinx1x.
解 运用极限运算的四则运算法则，有
1x?limx?x?sin1?limxlimx?sin1， limx?0sinxx?0sinxxx?0sinxx?0xx2sin因为
lim当x?0时，x为无穷小量，sinx?1,
x?0sinx1为有界量，所以 x1limx?sin?0, x?0x故
x2sinlimx?0sinx1x?0.
2.2利用两个重要极限公式求极限 我们所熟悉的两个重要极限是 (i)limf(x)?0则limx?asinf(x)?1,
x?af(x)1f(x)(ii)limf(x)?0则lim(1?f(x))x?ax?a?e,
0?其中，第一个重要极限是“”型；第二个重要极限是“1”型.
0利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限的标准型或者它们的变形，这就要抓住重要极限公式的特征，并且能够根据它们的特征，辨认它们的变形，有时会利用到归结原则.
例3 求极限lim(1?2x).
x?01x1x解 lim(1?2x)?lim[(1?2x)?(1?2x)]?e2.
x?0x?012x12x
4
11例4 求极限lim(1??2)n.
n??nn111解 (1??2)n?(1?)n?e(n??)，当n?1时，有
nnn11n?1(1??2)n?(1?2)nnnn2n?n?1n?1?(1?n?1)2nn2?2n?1,
n2,(n?2,3,???)）有 而由归结原则（取xn?n?1lim(1?n??n?1)n2n2?2n?1?lim(1?n??n?1)n2n2n?11?lim(1?)n?e, n??n于是，由数列极限的迫敛性得
11lim(1??2)n?e. n??nn2.3利用洛必达法则求极限
定理1 若函数f(x)与g(x)满足 (i) limf(x)?limg(x)?0(?);
x?x0x?x0 (ii) 在点x0的某空心邻域U(x0)内两者都可导，且g(x)?0； (iii) limf?(x)?A（A可为实数，也可为??或??）,则 ?g(x)x?x0x?x0limf(x)f?(x)?lim?A. g(x)x?x0g?(x)12例5 求极限lime?(1?2x). 2x?0ln(1?x)x解 利用ln(1?x2)~x2(x?0),得 lime?(1?2x)e?(1?2x)e?(1?2x)?lim?limx?0x?0x?0ln(1?x2)x22xx12x12x?12?lime?(1?2x)x?02x?32.
应用洛必达法则计算待定型极限需要注意的问题
(1)审查计算的极限是不是待定型，如果不是待定型就不能运用洛必达法则，因为它不满足洛必达法则的条件. (2)除计算“
0?”或者“”两种待定型外，计算其它五种待定型0?5
0?\??,1?,00,?0,???\都要用对数或代数运算将它们化为待定型“”或者“”,
0?然后再应用洛比达法则.
(3)在求极限的过程中，有可约的因子或者极限不是零的因子，可以先约去或从极限符号内取出.
(4)要特别注意，一般来说，应用洛必达法则计算待定型极限都比较简单.但是对少数的待定型极限应用洛比达法则，并不简单. 2.4利用极限的四则运算法则求极限
定理2（极限的四则运算法则） 若limf(x)?A， limg(x)?B，则
x?x0x?x0 (i) limf(x)?limg(x)?A?B，
x?x0x?x0 (ii)lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B，
x?x0x?x0x?x0 (iii)若B?0，则
limf(x)Af(x)x?xlim?0?, x?x0g(x)limg(x)Bx?x0综上所述，函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商.
x2?2x?3例6 求极限lim.
x?2x?4x2?2x?3)11x2?2x?3lim(?. 解 lim=x?2x?2x?4lim(x?4)6x?22.5利用等价无穷小替换求极限
以下是当x?0时常用的等价无穷小关系
sinx~x,tan~x,arcsinx~x,arctanx~x,1xx,ex?1~x,loga(1?x)~,nlna
1ax?1~xlna,1?x?1~x,2(1?x)??1~?x,ln(1?x)~x.n1?x?1~等价无穷小代换法 设?,??,?,?? 都是同一极限过程中的无穷小量，且有
?~??,?~??,lim??? 存在，则 lim也存在，且有
???6
lim????lim. ???1)2n.
n3?n2?(1?cosn2?1?1例7 求极限lim解 因为 limn??nn??n2?1，故
n?limn??32?(1?cos112211)n?(1?cos)n??4n2?limn2?lim2n?1.
n??n??11n2?1?11?2?11?2?1nn例8 求极限limx?01?tanx?1?tanx.
ex?1解 有等价无穷小关系 tanx~x,ax?1~xlna(x?0).
limx?01?tanx?1?tanx
ex?1 ?lim(1?tanx?1?tanx)(1?tanx?1?tanx) xx?0(e?1)(1?tanx?1?tanx) ?lim2tanx x?0(ex?1)(1?tanx?1?tanx) ?limx?02x2??1.
x(1?x?1?x)22.6利用定积分求极限
由于定积分是积分和的极限，因此，某些和式问题可以化为定积分的计算，使运算得以完成.
?1nn例9 求极限lim??22?2?2n??nn?1n?2?1nn?解 ?22?22nn?1n?2???n.
n2?(n?1)2??n 22n?(n?1)
7