重庆大学线性代数Ⅱ课程试卷答案（2007年3月）
一、 填空题（每小题3分，共15分）
31、2n 2、 3、2bc?a?0 4、n-1 5、?1?t?1
2二、简答题（每小题4分，共8分） 1、若同阶方阵A和B的乘积AB?O（其中O为零矩阵），且A?O，则必有B?O成立吗？为什么？
答案：不成立， 可举任何反例
??????2、设?1,?2是某个齐次线性方程组的基础系，问?1??2,2?1??2是否也可以构成这个线性方程组的基础解系？为什么？
答案：可以。设k1(?1??2)?k2(2?1??2)?(k1?2k2)?1?(k1?k2)?2?0，有
????(k1?2k2)?0,(k1?k2)?0则有k1?0,k2?0，且?1??2,2?1??2也是齐次线性方????程组的解，故?1??2,2?1??2是线性方程组的基础解系。
二、 计算题（一）（共19分）
213?1D?1（9分）、计算行列式1250213?1D?解：125042344234112的值。 3112= - 5 （有过程答案错请给一定分数） 32（10分）求矩阵A的秩，这里
?1?2? A??3??0?1?203246012?100?0??1? ?1??1?2A???3??0解：?1?0???0??00??1?0?2420?????006?11???3001??0?1210?0000??00?40??3001?110?121?1203300010?400?0??1??1?
由于有一个三阶子式3?11?0，则R（A）=3。知道用初等变换求秩但答案
001有误给一定分数。 四、计算题（二）（共24分）
1（12分）设矩阵A,B满足AB?A?2B，求B，其中
?423??110?A? ?? ???123??23??2?1?4?3??1?1?5?3??1?10???A?2E?A?2E?解：?? ??，求得
??4???16???121??
?1?4?3??423??3?8?6??1??110???2?9?6?B??A?2E?A??1?5?3??????
?4???16????123?????2129??
2（12分）、求一正交变换，将二次型
22f(x1,x2,x3)?x12?2x2?2x3?4x1x3化为标准形。
?1?A?解：先写出二次型的矩阵?0?2?02??20? 0?2??再求将A对角化的正交相似变换矩阵
??11、解特征方程?E?A?0?2
0?20??20
??2?(??3)(??2)2?0
得特征值?1??3,?2??3?2 2、解齐次线性方程组
??3E?A?X?0,(2E?A)X?0
分别求得
与?1??3对应的特征向量P,0,2)T 1?(?1与?2??3?2对应的特征向量s
P2?(0,1,0),P3?(2,0,1)T
3、将P1、P2、P3化为R中的标准正交基
取e1?P1/P1?15(?1,0,2)T
e2?P2/P2?(0,1,0)T
??P3?[e2,P3]e2?(2,0,1)T
e3??3/?3?15(2,0,1)T
0??11??0则Q?(e1,e2,e3)?5??2?2??50?即为所求的正交相似变换矩阵，正交变换
?01??X=QY可将二次型化为标准型
f?XTAX?(QY)TA(QY)?YT(QTAQ)Y?YT?Y
2222故f??1y12??2y2 ??3y3??3y12?2y2?2y3即为所求
五、计算题（三）（共22分）
1（12分）、问当?为何值时，方程组
?x1?2x2??x3?2??3x1?2?x2?9x3?6 ??x?6x?9x?6123?（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷解，并求其通解.
解：因为A??2(??3)(??6)
（1） 当??3,???6时，A?0，方程组有惟一解； （2） 当???6时，R(A)?2,R(A)?3，故方程组无解；
（3） 当??3时，R(A)?R(A)?1?3，故方程组有无穷解，其解为
2?x1??2???2???3????????? ?x2???0??k1?1??k2?0?.
?????x3???0???0???1??2（10分）设α1,α2,α3为4元非齐次线性方程组Ax?β的3个解,R(A)?3.其
1,2,3)T.求Ax?β的一般解. 2,3,4)T,α2?α3?(0,中α1?(1,解：由给定条件可知(α1-α2)?(α1-α3)?2α1?(α2?α3)为齐次线性方程组
Ax?O的一个非零解, 又由R(A)?3可知Ax?O的基础解系只含一个解向量，
则
η1?2α1?(α2?α3)?(2,3,4,5)T. 即是Ax?O的一个基础解系
3,4,5) 2,3,4)T?k(2,于是Ax?β的一般解为: η?α1?kη1?(1,六、 证明题（每题6分，共12分）
1、如果实对称阵A满足A?6A?8E?O，证明：
2TA?3E是正交矩阵
?A?3E??A?3E?T??A?3E??AT?3E??AAT?3A?3AT?9EA2?6A?9E
证明：?故得证
?O?E?E?2、设?是A的特征值，对应的特征向量为x，P为n阶可逆矩阵，试证明：?也是P?1AP的特征值，对应的特征向量为Px。
证明：由题意Ax??x，既有AP?1Px??x，两边左乘P?1，得到：
?1??P?1APP?1x??P?1x
?1?????即 ?是P?1AP的特征值，对应的特征向量为Px。
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