2015年四川高考数学理科卷详细解答
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（理工类）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分l50 分。考试时间l20分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.设集合A?{x|(x?1)(x?2)?0}，集合B?{x|1?x?3}，则A（A）
B?
?x|?1?x?3? （B）?x|?1?x?1? （C）?x|1?x?2? （D）?x|2?x?3?
B?{x|?1?x?3}，选A.
【答案】A
【解析】∵A?{x|?1?x?2}，B?{x|1?x?3}，?A2.设i是虚数单位，则复数i3?
2
i
(A) ?i (B)?3i (C) i (D) 3i 【答案】C 【解析】i?322i??i?2??i?2i?i，选C. ii3.执行如图所示的程序框图，输出S的值是 (A) -1133 (B) (C)- (D)
2222【答案】D
【解析】易得当k=1,2,3,4时执行的是否，当k=5时就执行是的步骤， 所以S?sin5?1?，选D. 624.下列函数中，最小正周期为?且图象关于原点对称的函数是 (A)y?cos(2x??) (B)y?sin(2x?) 22第1页
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(C)y?sin2x?cos2x (D) y?sinx?cosx 【答案】A
【解析】显然对于A选项，y?cos(2x?意,选A.
?2)??sin2x，为关于原点对称，且最小正周期是π，符合题
y2?1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则AB? 5.过双曲线x?32（A）
43 （B）23 （C）6 （D）43 3【答案】D
【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为y??3x，且右焦点(2,0)，则直线x?2与两条渐近线的交
点分别为A(2,23)，B(2,?23)，∴|AB|?43,选D.
6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 （A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个 【答案】B
【解析】这里大于40000的数可以分两类：
13①当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数中的一个，十位百位和千位没有限制∴有C3 A4?72种。13②当4在万位时，个位可以排0、2两个数中的一个，十位百位和千位没有限制，∴有C2A4?48种，
综上所述：总共有72+48=120种,选B。
7.设四边形ABCD为平行四边形，AB?6，AD?4.若点M，N满足BM?3MC，DN?2NC，则
AM?NM?
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6 【答案】C
【解析】这里可以采用最快速的方法，把平行四边形矩形化，因此，过B建立直角坐标系，可得到A?0,6?，
M?3,0?，N?4,2?，∴AM??3,?6?，NM???1,?2?，∴AM?NM??3?12?9，选C
ab8.设a，b都是不等于1的正数，则“3?3?1”是“loga3?logb3”的
(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】B
log3a?log3b?0。【解析】由已知条件3a?3b?3可得 a?b?1。当a?b?1时，∴
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11，?log3alog3b2015年四川高考数学理科卷详细解答
即loga3?logb3。∴，“3a?3b?3”是“loga3?logb3”的充分条件。然而取a?1?1?3?b则3loga3?0?logb3，满足loga3?logb3，却不满足a?b?1。∴“3a?3b?3”是“loga3?logb3”
的不必要条件。综上“3a?3b?3”是“loga3?logb3”的充分不必要条件，选B. 9.如果函数f?x??11?,2?单调递减，则mn的最大值为 ?m?2?x2??n?8?x?1?m?0,n?0?在区间??22??81 2（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B
【解析】 f'?x???m?2?x?n?8，由于f?x?单调递减得：∴f??x??0，∴?m?2?x?n?8?0在
?1??1?上恒成立。设，则一次函数在gx?m?2x?n?8gx,2，2?上为非正数。∴只须在两个端??????????2??2?
?11???m?2??n?8?0?点处f????0和f??2??0即可。即?2?2??2?m?2??n?8?0?2①②，
111?n?12?n?由②得：m??12?n?。∴mn?n?12?n?????18。mn当且仅当m?3,n?6时取到
222?2?最大值18。经验证，m?3,n?6满足条件①和②,选B.
22210.设直线l与抛物线y?4x相交于A，B两点，与圆?x?5??y?r?r?0?相切于点M，且M为线 段
2AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是
（A）?1，3? （B）?1，4? （C）?2，3? （D）?2，4?
【答案】D 【解析】
yAMOB2xC??y1?4x1 设A?x1,y1?，B?x2,y2?，M?5?rcos?,rsin??，则?2 ??y2?4x2两式相减，得：当直线l的斜率不存在时，显然符合条件的直线l有两条。?y1?y2??y1?y2??4?x1?x2?，当直线l的斜率存在时，可得：2rsin??y1?y2??4?x1?x2??kAB?y1?y22，又∵ ?x1?x2rsin?第3页
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kMC?rsin??0sin?2cos?21cos?????r???2 ，∴kAB??，∴??5?rcos??5cos?rsin?sin?cos?kMCsin?2由于M在抛物线的内部，∴?rsin???4?5?rcos???20?4rcos??20?4???2??12，
r2?4∴rsin??23，∴rsin??r??r2?4?23?r2?16?r?4，
r因此，2?r?4，选D.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目说只是的区域内作答。作图可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试卷、草稿纸上无效。 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在?2x?1?的展开式中，含x2的项的系数是________（用数字填写答案） 【答案】-40
2【解析】由题意可知x2的系数为：C5?22?(?1)3??40
512. sin15°?sin75°的值是________
【答案】
6 22sin?15??45???2sin60??2?36 ?22（ e=2.718???【解析】sin15??sin75??sin15??cos15??13.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：°C）满足函数关系y?ekx?bC的保鲜时间是192小时，在23°C的保鲜时间是48小为自然对数的底数，k，b为常数）。若该食品在0°时，则该食品在33°C的保鲜时间是________小时。 【答案】24
【解析】
ek?0+b?192??①，ek?22?b?48???②，∴
②11?e22k??ek?， ①42∴当x?33时，e33k?b?x???③，∴
3③1x?e33k??ek????x?24 ①8192
14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC中点，设异面直线EM与AF所成的角为?，则cos?的最大值为________
2【答案】
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QMP2015年四川高考数学理科卷详细解答
【解析】以AB为x轴，AD为y轴，AQ为z轴建立空间直角坐标系，
并设正方形边长为2，则A?0,0,0?，F?2,1,0?，E?1,0,0?，
M?0,m,2?，∴AF??2,1,0?，EM???1,m,2?
∴cos??AF?EMAF?EM?2?m5m?52,令f(m)?2?m5m?252(m??0,2?)
?5m2?25?f?(m)?(2?m)?10m25m2?25，m?0,2，?f?(m)?0
??5m2?25?f(m)max?f(0)?22，从而cos?max? 55x215.已知函数f?x??2，g?x??x?ax (其中a?R)。对于不相等的实数x1，设m?x2，
f?x1??f?x2?，
x1?x2n?g?x1??g?x2?，现有如下命题：
x1?x2(1) 对于任意不相等的实数x1，x2，都有m?0；
(2) 对于任意a的及任意不相等的实数x1，x2，都有n?0； (3) 对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m?n； (4) 对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m??n。 其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。 【答案】(1) (4) 【解析】
f(x1)?f(x2)2x1?2x2(1)设x1，x2,∵函数y?2是增函数，∴2?2，x1?x2?0， 则m?=>0,
x1?x2x1?x2xx1x2所以正确；
g?x1??g?x2?x12?ax1?x22?ax2(2)设x1?x2，则x1?x2?0，∴n???x1?x2?a
x1?x2x1?x2不妨我们设x1??1,x2??2,a??3，则n??6?0，矛盾，所以(2)错。 (3)∵m?n，由(1)(2)可得：m?n?f?x1??f?x2?g?x1??g?x2?，化简得到， ?x1?x2x1?x2f?x1??f?x2??g?x1??g?x2?，也即f?x1??g?x1??f?x2??g?x2?，令
即对于任意的a函数h?x?在定义域范围内存在有两个不相等的实数h?x??f?x??g?x??2x?x2?ax，
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