2015年四川高考数学理科卷详细解答
根x1，x2。则h'?x??2ln2?2x?ah?(x)?2xln2?2x?a，显然当a???时，h?x??0恒成立，
x'即h?x?单调递增，最多与x轴有一个交点，不满足题意，所以错误。 (4)同理可得f?x1??g?x1??g?x2??f?x2?，设h?x??fx??g?x???x2x?a?x2，即对于任意的a函
数h?x?在定义域范围内存在有两个不相等的实数根x1，x2，从而h?x?不是恒为单调函数。
h'?x??2xln2?2x?a，h''?x??2x?ln2??2?0恒成立，∴h'?x?单调递增，又∵x???时，h'?????0，x???时，h'?????0。所以h?x?为先减后增的函数，满足要求，所以正确。
三、简答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
设数列{an}的前n项和Sn?2an?a1，且a1，a2?1，a3成等差数列。 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记数列{【解答】：
（Ⅰ）当n?2时有，an?Sn?Sn?1?2an?a1?(2an?1?a1)
则an?2an?1(n?2) ，
211成立的n的最小值。 }的前n项和Tn，求得使|Tn?1|?1000anan =2 （n32） ，∴数列?an?是以a1为首项，2为公比的等比数列。
an-1* 又由题意得2a2?2?a1?a3，?2?2a1?2?a1?4a1，∴a1?2 ，∴an?2n (n?N)
11[1?()n]1112?1?(1)n （Ⅱ）由题意得?n，∴Tn??i?212an2i?121?2n-）=() ，又则Tn?1?（12212n1111111?,??? ，即 10921024251210241000512?Tn?1?1成立时，n的最小值为n?10。 100017.（本小题满分12分）
某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
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（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列
和数学期望. 【解答】
（Ⅰ）设事件A表示“A中学至少有1名学生入选代表队”，可以采用反面求解：
33C3C4199 P(A)?1?3?3?1??C6C6100100（Ⅱ）由题意，知X?1,2,3,
3113C3C31C32C323C3C31;P(X?1)?4?;P(X?2)??P(X?3)?? 44C65C65C65因此X的分布列为： X P 期望为: E(X)?1?1 2 3 1 53 51 5131?2??3??2 55518.（本小题满分12分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N。
（I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （II）证明：直线MN//平面BDH； （III）求二面角A?EG?M的余弦值。
DCGEEABFDMABCH【解答】
（I）如下图所示
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HNEFEGHNQFGDMABCADO
PMBC（II）如答图所示，连接BD，AC相交于点O，连接MO
∵M、O分别为线段BC、BD的中点，∴MO//CD//GH且MO?11CD?GH?NH 22∴四边形QMNH为平行四边形，∴OH//MN，又∵OH?平面BDH，∴MN//平面BDH （III）
连接EG，过点M作MP?AC于点P，过点P作PQ?EG于点Q，连接MQ，由三垂线定理可得
EG?MQ，∴?PQM为二面角A?EG?M的平面角，
设正方体棱长为4a，则PQ?BC?4a，∴MC?2a，∵?MCP?45?，MP?2a
所以tan?PQM?MP2a222，所以cos?PQM? ??3PQ4a42222 ，即二面角的余弦值为D33所以cos?A?EG?M??cos?MLK?19.（本小题满分12分）
如图，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角。
C（Ⅰ）证明：tanA1?cosA?； 2sinAABABCD?tan?tan?tan. 2222
o（Ⅱ）若A?C?180，AB?6，BC?3，CD?4，AD?5，求tan【解答】
AA2sin2A1?cosA2?2?（Ⅰ）证明：tan?.
AAA2cossinA2sin?cos222sin
（Ⅱ）解：∵A?C?180o，∴cosC?cos?180??A???cosA,sinC?sin?180??A??sinA
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∴tanAC1?cosA1?cosC1?cosA1?cosA2?tan?????， 22sinAsinCsinAsinAsinABD2?tan?， 22sinB∵A?C?180o，∴B?D?180o同理可得tan∴tanABCD1??1?tan?tan?tan?2???? 2222sinAsinB??连接BD，设BD?x，在ABD和CBD中分别利用余弦定理及A?C?180o可得
247362?52?x232?42?x22102cosA??cosC，即??，解得x?，从而得cosA?，sinA?.772?6?52?3?47同理可得，cosB?1610，sinB?. 1919∴tanABCD1111410 ?tan?tan?tan?2(?)?2(?)?2222sinAsinB321061071920.（本小题满分13分）
x2y22如图，椭圆E:2?2?1的离心率是，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点。当直线
ab2l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22。
（Ⅰ）球椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xoy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得
QAQB?PAPB恒成立？若存在， 求
出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 【解答】
（Ⅰ）由题知椭圆过点
?2,1。因此可得：
?y A P O B x ?c2?e??a2??21?2?2?1，解得：a?2，b?c?2。 ?ab??222?a?b?c∴椭圆E的方程为：
(Ⅱ)假设存在满足题意的定点Q。
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xy??1。 42222015年四川高考数学理科卷详细解答
当直线l平行于x轴时，则
QAQB?PAPB∴Q点在y轴上。不妨设Q?0,a? ?1，A,B两点关于y轴对称，
当直线l垂直于x轴时，A0,2,B0,?2，????QAQB?PA1?2a?2??，。解得a?2或a?1PB1?2a?2（舍去，否则Q点就是P点），∴Q点的坐标为?0,2?。
下面我们证明对于一般的直线l:y?kx?1，Q?0,2?也满足题意。 ∵
QAQB?PAPB，∴由角平分线定理可知，y轴为?AQB的角平分线。所以kQA??kQB。
设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则y1?kx1?1，y2?kx2?1，
?y?kx?1221?2kx?4kx?2?0， 联立：?2，消去y可得，??2?x?2y?4由韦达定理可得，x1?x2??4k?2xx?，， 12221?2k1?2k∴kQA?y1?2kx1?1y?2kx2?111??k?，kQB?2??k?，两式相加得， x1x1x1x2x2x2?11?x?xkQA?kQB?2k??+??2k?12?2k?2k?0，即kQA??kQB
x1x2?x1x2?从而，假设成立，即存在与点P不同的定点Q，使得
22QAQB?PAPB恒成立。
21.已知函数f?x???2?x?a?lnx?x?2ax?2a?a，其中a?0。 （Ⅰ）设g?x?是f?x?的导函数，讨论g?x?的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a??0,1?，使得f?x??0在区间(1，??)内恒成立，且f?x??0在区间
(1，??)内有唯一解。
【解答】：
（Ⅰ）∵f?x???2?x?a?lnx?x?2ax?2a?a，∴求导可得，
22f'?x???2lnx?2?2a2a?2x?2a，即 g?x????2lnx?2??2x?2a?a?0,x?0? xx2?x2?x?a??22a2x?x?a， ∴g'?x??，对于多项式?2?2?a?0,x?0??2xxx第10页