2．4 抛物线
2．4.1 抛物线的标准方程
●三维目标 1．知识与技能
(1)理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导．
(2)明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题． 2．过程与方法
(1)通过对抛物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系． (2)熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力．
3．情感、态度与价值观
引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美．
●重点难点
重点：抛物线的定义及其标准方程的推导．通过学生自主建系和对方程的讨论突出重点． 难点：抛物线概念的形成．通过条件e＝1的画法设计、标准方程与二次函数的比较突破难点．
(教师用书独具)
●教学建议
从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，抛物线是离心率e＝1的特例．另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化．本节对抛物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图像遥相呼应，体现了数学的和谐之美．教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则．
为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，易采用“引导探究”式的教学模式，在课堂教学中，始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，
通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学的全过程．本节课在实验画法的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，使学生通过自己的分析、反思、对比并形成抛物线的概念，构建自己的知识体系，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦．
●教学流程
设置情景，导入新课．上课开始，用计算机出示太阳系九大行星运行图，以天文学热点事件“冥王星”的降级引入新课：同学们，最近在我们的太阳系发生了一件重大的事件，你们知道吗？?引导探究，获得新知(1)复习椭圆、双曲线的第二定义，椭圆和双曲线的离心率e的取值范围各是什么？(2)离心率e＝1是什么含义？你能据此设计一种方案，画出一个这样的点吗？(3)这条曲线是什么？?由学生自主建系，求出抛物线的标准方程．并根据焦点位置的不同，写出四种不同的标准方程．归纳标准方程、焦点坐标、准线方程的内在联系和对应关系．?通过例1及变式训练，使学生掌握抛物线标准方程的求法，先定位，再定量，利用待定系数法求抛物线的标准方程．?通过例2及变式训练，使学生掌握由标准方程求其焦点坐标和准线方程，达到数与形的准确转换．弄清一次项变量系数与焦点同名坐标的四倍关系，焦点坐标与准线方程的相反关系．?通过例3及变式训练，使学生掌握抛物线定义和标准方程的综合应用，抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，二者可以灵活转化，在此基础上数形结合，解证有关问题．?通过易错易误辨析，体会抛物线标准方程的不同形式，焦点位置有多个，就会有不同的标准方程．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．?完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力
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1.掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程．(重点) 课标解读 2．抛物线标准方程与定义的应用．(难点) 3．抛物线标准方程、准线、焦点的对应．(易错点) 【问题导思】 1．用《几何画板》画图，如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹．你能发现点M满足的几何条件吗？
抛物线的标准方程
【提示】 点M随着H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F和定直线l的距离相等．
2．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，使所建立的抛物线的方程更简单？
【提示】 根据抛物线的几何特征，我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立直角坐标系xOy(如图所示)．
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) pF(，0) 2px＝－ 2 y2＝－2px(p>0) pF(－，0) 2px＝ 2x2＝2py(p>0) pF(0，) 2py＝－ 2x2＝－2py(p>0) pF(0，－) 2py＝ 2
求抛物线的标准方程 已知抛物线的顶点在原点，试求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上； 5
(3)焦点到准线的距离为. 2
【思路探究】 对于(1)，需要确定p的值和开口方向两个条件，∵点(－3,2)在第二象限，∴抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)；对于(2)，∵标准方程下抛物线的焦点在坐标轴上，∴求出直线x－2y－4＝0与坐标轴的两个交点(4,0)和(0，－2)，即5
为所求抛物线两种情况下的焦点；而对于(3)，由题意知，p＝，下一步需要讨论抛物线的
2开口方向．
【自主解答】 (1)∵点(－3,2)在第二象限，
∴抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)．把点(－3,2)的坐标分别代入y2＝－2px(p>0)和x2＝2py(p>0)，得
4＝－2p·(－3)或9＝2p·2， 49即2p＝或2p＝. 32
49
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y.
32(2)令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4. ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． p
当焦点为(4,0)时，＝4.
2
∴2p＝16，此时抛物线方程为y2＝16x.
p
当焦点为(0，－2)时，＝2.
2
∴2p＝8，此时抛物线方程为x2＝－8y. 故抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.
55
(3)由焦点到准线的距离为，可知p＝，∴2p＝5.
22
∴所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
1．只有顶点有原点，焦点在坐标轴上的抛物线才能将方程写成标准方程．
2．求抛物线的标准方程，应当先定位，再定量，即先根据焦点位置设出方程形式，再利用题目条件求出待定字母的值．另外，若只知道焦点在x轴上，可设抛物线标准方程为y2＝mx的形式，若只知道焦点在y轴上，可设抛物线标准方程为x2＝ny的形式，避免分类讨论．
一抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．
p
【解】 设所求抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则其准线方程为y＝. 2由抛物线的定义知点M到焦点的距离等于点M到准线的距离， p
∴－(－3)＝5，即p＝4. 2∴所求抛物线的方程为x2＝－8y.
和准线方程
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝20x；(2)2y2＋5x＝0；(3)y＝ax2(a≠0)． 【思路探究】
抛物线方程化为标准形式→求p→求焦点坐标→求准线方程
【自主解答】 (1)由方程可得抛物线开口向右，且2p＝20，即p＝10，所以抛物线的焦点坐标为(5,0)，准线方程为x＝－5.
由标准方程求抛物线的焦点坐标