北 京 交 通 大 学
2011-2012学年第一学期《微积分》第二次期中考试试卷
学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________
题号 得分 阅卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！
一、求证1?x1?x?ln?1?x?arcsinx1?x1?x?0?x?1?.
证明：设f?x??又因为
f'arcsinx?ln?1?x?，则f?0??0。
?x??1?11?x2?1?x?21?xarcsinx?1?x1?x11?x2?11?x
??1?x1?x?1?x?arcsinx?0?0?x?1?所以0?x?1时，f?x??1x1x221?x1?xarcsinx?ln?1?x??0,进而有1?x1?x?ln?1?x?arcsinx.
二、设x?0时方程kx?解：设f?x??kx??1有且仅有一个解，求k的范围。 ?1?x?0?，则f'?x??k?2x3.
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（1）k?0时，f?0有且仅有一个解；
?????,f???????,f?x??0,所以x?0时方程kx?'1x2?1（2）k?0时，显然x?0时方程kx?（3）k?0时，f?0?x?????,???时，f?k?21x2?1有且仅有一个解；
??????,f???????,当x??0,??2?3???k?2332??时，fk??'?x??0,当
3'?x???0,所以f???32k2?1为其最小值，只有当其为零时
方程kx?1x2?1有且仅有一个解；此时得k?239。
总之，k的范围为???,0?????23???. ?9???三、设函数y?x23x?1,求（1）y的定义域；（2）y的单调区间和极值，图形的凹凸区间
及拐点；（3）y图形的渐近线方程。 解：（1）y的定义域为x??1.
'（2）y?x2?x22?3?2?x?1?,y?\2x?x?3?2?x2?1?3.
所以???,?3?为单增区间，??3,?1?为单减区间，??1,1?为单减区间，1,3为单减区间，?3,???为单增区间。y??3???332??为极大值，y?3??332为极小值。
???,?1?为凸区间，??1,0?为凹区间，?0,1?为凸区间，?1,???为凹区间。拐点为?0,0?.
（3）显然x??1为两条竖直渐近线。
?x?x?x??lim2?0，所以y?x为一条斜渐近线。 lim?lim2?1,lim?2x??x??x??xx??xx?1?1?x?1?yx23
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1x??x四、求极限lim?sin?cos2x?.
x?02??1x??x解：lim?sin?cos2x??limex?0x?02??2x??ln?sin?cos2x?2??x?ex?0limx??ln?sin?cos2x?2??x1lim2?ex?0xcos?2sin2x2xsin?cos2x21?e2.
五、在抛物线y?x?0?x?8?上求一点，使抛物线在该点处的切线与直线y?0,x?8围成的三角形面积为最大。
2解：设切点为?x0,x0?，则切线为y?x0?2x0?x?x0?.它与x轴交于?2?x0?,0?，与x?8交2??于?8,16x0?x0?。
2三角形面积为S?x0??x0?32161?'2Sx?x?16x?64.0?x?8?16x?x.当?0?00000????2?2?43?16?0，因此S??为最大值，所求点为
3??时，S?x0??0，当
'163?x0?8时，S'?x0???16256?,??。 9??31f?x??x?3?e,求f?0?,f六、设函数f?x?有连续的二阶导数，且lim?1?x??x?0x??1'?0?,f\?0?f?x??x?及极限lim?1??. x?0x??解：limx?0f?x???ln?1?x??x??x??f1f?x??x?3?limln?1?x??lne?3. ?x?0x??f所以limln?1?x?x?0?x??x??0.故limx?0??x?x?0，
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所以f?0??limf?x??0.f?0??limx?0'f?x??f?0?x?0x?0?limx?0f?x?x?0.
由泰勒展式，f?x??12f\2???x，
所以limx?0f?x???ln?1?x??x??xfx??limx?0fx?x?x?1?limx?0f?x?x2?3.
所以limx?0?x?x2?2?limx?0f\???2，由此得f?0??limf????4.
x?0\\1limf?x??x?x?0lim?1???ex?0x??f?x???ln?1??x??xlimf?x?x2?ex?0?e.
2七、设函数f?x?在?a,???上二阶可导，且f?a?1??0,limf?x??0（其中a?0），
x?a?milx???f,??x0?则至少存在一点???a,???，使得f????0.
??\证明：定义g?t??f?tant?，t??arctana,??imf?，则g?t?可导，由xl??a2??x??0，
limfx????x????????0,若补充定义g?arctana??g???0，则g?t?在arctana,连续。由??22???????g?arctana??g?arctan?a?1???g???0，分别在区间??arctana,arctan?a?1???和
?2????gt??arctana,arctan(a?1)?，arctan?a?1?,??对??应用罗尔定理，知存在1?2???2??arctan?a?1?,?????满足
2?g??1??f''2?tan?1?sec?1?g??2??f''2?tan?2?sec?2?0，
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令?1?tan?1,?2?tan?2,则f??1??f??2??0。再在区间??1,?2?上对f?x?用罗尔定
'''理，得存在????1,?2?满足f????0.
??3x?2八、求极限lim??x?x??ex?x???2???1\?6x?1?.
?解：由泰勒展式，
x?32x?x??2??x?e??1x?16x??1111?3?1???1??23???x?x???1??????x1????3???6?? ?2362x2x6xx2x???????x????16???1??x?e??1??3x2所以lim??x?x?x???2???16x?1??.
?6九、计算下列不定积分： （1）?1x6?1?xx532?dx;（2）?ln?e?1?xexdx;（3）?x2xe2x2?x?2?dx;（4）?lnsinxsinx2dx;
（5）?4x?1x?1dx;（6）?arctanxx(1?x)x?1x?14622dx;（7）?e?cosx?sinxsinx2xdx;
（8）?x?1?xex?dx;（9）?dx;（10）?arcsin1?xdx?x?1?.
解：（1）
??1x6?1?x?2dx?1x?1?x?xx6222?1?x?2dx?2?1x6dx?1x?1?x?xx4222?1?x?1xdx?4dx1x1?1xdx?6?1dx?41x?1?x?xx22?1?x?dx??dx?6??dx?2??1?x?2dx
??15x5?3x3??arctanx?C.（2）
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