【例9】求最小正整数n，使当以任意方式将Kn二染色时，总存在两个单色三角形，二者恰有一条公共边.
解：为了清楚起见，我们把蓝线和红线分别画在两个图中，易见图中有6蓝6红共12个单色三角形，图中36条边，恰好每边都是一个单色三角形的一条边，任何两个单色三角形都没有公共边，可见所求最小正整数n?10.
3另一方面，在2色K10中假设单色三角形有p个，非单色三角形有q个，则p?q?C10.
再设从第i个顶点pi出发有xi条红边，9?xi条蓝边（i?1,2,10,10），于是图中共有
?x(9?x)个两边不同色的异色角. 而单色三角形内没有异色角，每个非单色三角形内恰
iii?1有2个异色角，所以2q??xi(9?xi). 因为xi(9?xi)?(i?110xi?9?xi2811)??20，且2441101xi(9?xi)为整数，所以xi(9?xi)?20，故q??xi(9?xi)??10?20?100，于是
2i?123p?C10?q?120?100?20. 即图中至少有20个单色三角形，每个三角形有3条边，一2共至少有60条边，但K10中只有C10?45条线段，故必有两个单色三角形恰有一条公共边.
综上可知，所求最小正整数n?10.
五、转换观点
【例10】 设D1?{A1,A2,?,An},D2?{B1,B2,?,Bn}是集合M的两个划分，又对任何两个不同的子集Ai,Bj(1?i,j?n)有|Ai?Bj|?n,求证：|M|?否成立？
证明：令k?min{|Ai|,|Bj|,1?i,j?n}，不妨设|Ai|?k,因B1,B2,?,Bn两两不交，故B1,B2,?,Bn中至多有k个Bj,使A1?Bj?? .
12n并说明等号能2设A,2,?,m,n?k. 1?Bj??,j?1
由k的选取知|Bj|?k(j?1,2,?m),从而|?Bj?1mj|?mk.
又因 A1?Bj?? ,i?m?1,?,n. 故 |A1|?|Bi|?|A1?Bi|?n, 即 |Bi|?n?k. 所以 |M|?|B|?|B|?|?j?jj?1j?1nmj?m?1?Bnj|?mk?(n?m)(n?k)
?n(n?k)?m(n?2k).
若k?n,因m?k,故 2n2nn22|M|?n(n?k)?m(n?2k)?n(n?k)?k(n?2k)?2()?2(?k)?.
222nnnnn2若k?,则|Ai|?(i?1,2,?,n), 从而 |M|?|?Ai|??|Ai|?.
222i?1i?12n下面说明|M|?是可以取到的.显然这时n为偶数，取n?4,则|M|?8，令 2
M?{1,2,3,4,5,6,7,8},易验证M的两个划分.
D1={{1,2}{3,4}{5,6}{7,8}}, D2={{1,2}{3,5}{4,6}{7,8}}, 满足题目条件.