第二章 行列式
习题
1.决定以下9级排列的逆序数，从而确定它们的奇偶性①.134782695；②.217986354；③.987654321.解.①.?(134782695)?0?0?0?0?0?4?2?0?4?10,偶排列； ②.?(217986354)?0?1?0?0?1?3?4?4?5?18,偶排列； ③.?(987654321)?0?1?2?3?4?5?6?7?8?36,偶排列。2.选择i,k使得： 1).1274i56k9成偶排列; 2).1i25k4897成奇排列.解.1).在排列中缺少3,8；取i?3,k?8,所得排列的逆序数为??5.2).取i?3,k?6，?(132564897)?5;满足条件。3.写出排列12435变成排列25341的那些对换。解这种过程不唯一，如：.12435?21435?25431?25341.4.决定排列n(n?1)(n?2)?21的逆序数，并讨论它的奇偶性。解逆序数为：. ?(n(n?1)(n?2)?21)?0?1?2???n?2?n?1?显然有?偶排列 n?4k,4k?1 ?.奇排列 n?4k?2,4k?3?n(n?1) 2(1,2)(1,5)(4,3)
由于交换改变排列的奇偶性，于是取i?8,k?3；所得排列为偶排列。
5.如果排列x1x2?xn?1xn的逆序数为k,那么排列xnxn?1?x2x1的逆序数为多少？解.因为比xi大的数有n?xi个,所以在两个排列中由xi与比它大的各数构成的逆序数的和为: n?xi于是在两个排列中由xi构成的逆序数总数为: ?(n?xi)?(n?1)?(n?2)???2?1?xi?1n?1
n(n?1)2所以当x1x2?xn?1xn的逆序数为k时,xnxn?1?x2x1的逆序数为: n(n?1)?k.2
6.在6级行列式中a23a31a42a56a14a65,a32a43a14a51a66a25这两项应有什么符号？解.a23a31a42a56a14a65的符号为(?1)?(431265)?(?1)0?1?2?2?0?1?1; a32a43a14a51a66a25的符号为(?1)?(452316)?(?1)0?0?2?2?4?1.
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7.写出4级行列式中所有含有负号并且包含因子a23的项。解.设所求项为?a1ia23a3ja4k,则列标i,3,j,k为奇排列,且i,j,k为取自1,2,4中的不同值。令i?1,j?2,k?4,于是排列1324是奇排列;由于“对换改变排列的奇偶性”，于是排列4312与2341是奇排列。那么所求为?a11a23a32a44，?a14a23a31a42，?a12a23a34a41.8.按定义计算行列式：0000?01?20010?002?0000?010?200
1).?????2).?????3).?????.0n?1?00000?n?1n?1?000n0?00n00?00?00n解.1).非零项仅有一项，其符号为(?1)?(n,n?1,n?2,?,2,1)?(?1)n(n?1)2,于是原行列式值为(?1)n(n?1)2n!;
3，4，?,n-1,1)2).非零项也仅有一项，其符号为(?1)?(2，?(?1)n?1,?原行列式值为(?1)n?1n!;3).非零项仅有一项，其符号为(?1)a1a2b1b29.按行列式定义证明：c1c2d1d2e1e2a3b3000?(n?1,n?2,?,2,1,n)?(?1)(n?2)(n?1)2;于是行列式值为(?1)(n?2)(n?1)2n!.a4b4000a5b50?0.00解.此行列式的一般项为a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5,列标j3j4j5为取自1.2.3.4.5中的不同值，
于是j3j4j5中至少有一项为0，故行列式的每一项均为0，所以行列式等于0.所证成立。2x10.由行列式定义计算f(x)?131同理x3的系数为?1.x12x1?1中x4与x3的系数。2x111x解由行列式定义知：.f(x)中仅有2x?x?x?x?2x4为含x4的项，故x4的系数为2；
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1111.由?111?1????11?0证明奇偶排列各半。?1证明：由题意行列式展开中的任一项(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn的绝对值为1， 而行列式的值为零，说明带正号的项与带负号的项数数目相同。而各项的符号为：??1 j1j2?jn为奇排列 (?1)?(j1j2?jn)???1 j1j2?jn为偶排列于是奇偶排列各半。12.设1xx2?xn?11a1 p(x)???1an?1其中a1,a2,?an?1是互不相同的数，1).由行列式定义说明p(x)是一个(n?1)次多项式；2).由行列式性质求行列式的根。解.1).将p(x)按第一行展开可知xn?1的系数为：1a11a2 ??1an?1所以p(x)是一个(n?1)次多项式。2).由范德蒙行列式的性质可知：当x取ai(i?1,2,?,n?1)时p(x)?0，又由于p(x)是一个(n?1)次多项式，于是p(x)有n?1个不同的根a1,a2,?an?1.a122a2?2an?1?a1n?2n?2?a2??n?2?an?1a12?a1n?1???2n?1an?an?1?1这是一个范德蒙行列式，由于a1,a2,?an?1是互不相同的数，故此行列式不为零。
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13.计算下列行列式：2461).1014427327246100327461002746127l3?3l2543443l2?l31014100443814100143?1008141143l2?2l2?342721621?342100621?542100321?5421321010l1?46l276811610001161007681116??100??100??294?105.l1?2l2?5882940294?58812942).xyx?y02(x?y)01yx?yxy?xyxx?y2x?2yxl1?l2?l32x?2yyxx?y?2(x?y)y611163116131611334122x?2yy?xyyx?yxx?y1yx?2(x?y)1x?yy1xx?yh1?h3xh2?h3yx?2(x?y)(?(x?y)2?xy)??2(x3?y3).x?y11110200002000023).311113111131111323413412??6111113111131111323413412?6?48.124).340?10241021103?210431014111?1021314123411?31011?3?10?102?2?2202?2?2?1?1?130?1?1?10?42?2?2?2??40?160.?1?1?1?1?1111?y11xx01h1?h211?x11h3?h400y1?y1101y11011?x1010110115).1?x111?x1111?xy11?y11?y10l2?l11?xxyl4?l300100010按拉普拉斯定理1010xy(?0?0?0?0?0)?xy?xy?(xy)2.
10展开，取定前两行1?x1?y1?y - 4 -
b?c14.证明：b1?c1b2?c2b?c证明：b1?c1b2?c2c?c1c2aa1a2c?ac1?a1c2?a2c?aa?baa1?b1?2a1a2?b2a?bcabb1b2cc1.c2a?bbc?ac1?a1c2?a2a?ba1?b1a2?b2bb1b2cc1c2a1?b1?b1a2?b2b2bbb1?b1b2b2cc1c2c?ac1?a1c2?a2aa1a2c1?a1c2?a2a1?b1?c1a2?b2c2c?ac1?a1c2?a2
a?bba1?b1?b1a2?b2b2aca1?c1a2c2aaa1?2a1a2a15.写出下列行列式的全部代数余子式：1?120?1211),2)321.00210140003解.1)?1210210?110?12A11?021??6,A12?(?1)1?2021?0,A13?001?0,A14?(?1)1?4002?0;0032140031140031240001211214A21?(?1)1?2021??12,A22?021?6,A23?(?1)2?3001?0,A24?002?0;003003003000214114124121A31??121?15,A32?(?1)3?2021??6,A33?0?11??3,A34??0?12?0;003003003000214114124121A41???121?7,A42?021?0,A43??0?11?1,A44?0?12??2.02).A11?A23??21?7,A12??0213104??12,A13?3201001?12140021204?4,
2114?3;A21???6,A22?1?1?12121?1??1;A31???5,A32???5,A11??5.01213132 - 5 -