中北大学2008届毕业论文
2 金属圆环结构的理论分析
塑性弯曲作为一种能量耗散机制，在碰撞能量吸收装置中有着广泛的应用。其中，圆环就是一种研究得最充分应用得最广泛的能量吸收元件。 2.1 一对集中力作用下的受压圆环
考虑一对方向相反的集中力作用下的刚塑性圆环 。它需要四个塑性铰以形成一个破损机构。利用能量法，我们可以得到其载荷—位移曲线。另一方面这个问题也可以通过考虑一圆弧段平衡得到解答。当圆弧段的转角为?时，压缩量为：
?2?R?2Rsin(?4??)?R?Rsin??Rcos? （2.1）
AB现在的长度为
AB?2Rcos(??) （2.2）
4?作用在这段圆弧上的力和力矩等效于两个数值相等（=P/2）作用方向相反的力。平衡条件要求这两个力必须沿同一条线作用，该线称为推力作用线。因此，力的平移
2Mp/P必须等于AB/2，这里Mp为圆环的塑性极限弯矩。将此引入方程（2.2）得出
2MpP?2?Rcos(??) 24
（a）形成破损机构需要四个塑性铰 （b）作用在四分之一圆环上的力
图2.1一对集中力作用下的受压圆环的破损机构
或者
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P?22MpRcos(??)4? （2.3）
当??0时，得到初始破损载荷
P0?4MpR?8MpD （2.4）
其中，D是圆环直径。联合式（2.1）、式（2.3）和式（2.4）给出载荷位移曲线
P?P01[1?2122??()]DD?（2.5）
这个关系式表明，载荷随着挠度增加而减少。上述方法称为等效结构技术（equivalent structure technique ）（Mechant,1965;Reddy等,1987）。 2.2 一对集中力作用下的受拉圆环
当圆环受两个大小相等方向相反且向外作用的集中力作用，它的变形可以用和上面完全相同的方法分析。一个关键不同之处是，对应于最大弯矩的两个边上的塑性铰位置随挠度增加而移动[图2.2（a）的B铰]。
（a）破损过程中的中间两个塑性铰（b）存在轴力时塑性铰（c）作用在弧段上力的详图 分离成四个，如在B点 处的应力状态
图2.2一对外向受拉圆环的破损机构
未变形的弧段与变形了的直线部分总是在当前塑性铰B处相切。此外，圆环的总长度在变形过程中保持不变。根据这些考虑并利用上述等效结构技术，得到
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PR(1?sin?)?2Mp （2.6） 2或者
P1 （2.7） ?P01?sin?和
??2R(cos????1) （2.8）
上述分析中没有考虑到轴力对屈服的影响。当圆环比较厚以及?D接近1时，这种影响可能比较重要。将这种轴力效应近似考虑进来，每个塑性铰处的轴力是
P2,抗弯能力由Mp减少至
M?Mp1?(P/22) Np于是，式（2.6）变成
PP22R(1?sin?)?2Mp1?() （2.9） 2Np联合式（2.9）和式（2.8），得到载荷－位移曲线，当???/2Np?Ybh是轴向屈服力。时最大载荷达到2Np。
当截面关于点O'转过角度是?时，中点的纤维被拉长了??h/2。这里?是系数，
?h/2是O与O'之间的距离。容易得到，轴力为N??hbY，M?(1??2)Yh2b4。 上面塑性铰的轴力为零，下面塑性铰的轴力为P2。作用在拉伸圆环总的外力[图2.2（a）]为
P?2Y?hb （2.10）
等效结构中力作用线的位置[图2.2（c）]为
e1?和
MpP2?H （2.11） 4?第 8 页 共 53 页
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e2?MH1?(??) （2.12） P24?再次根据平衡的考虑，两个为零方向相反的力必须沿着同一作用线。根据刚发生破损时的几何形状，位移?为零，则
e1?e2?R?D2 （2.13）
将式（2.11）和式（2.12）代入到式（2.13）中，我们得到正的?值的表达式为
???DD?()2?2 （2.14） hh考虑到两种情况，Dh?10和Dh?5，方程（2.13）分别给出??0.0995和
??0.1962。初始破损载荷变为
P0?2Y?hb?2Dh(1?2()2?1)Yhb （2.15） hD这个公式与DeRuntz和Hodge所给出的圆环在刚性平板压缩下的初始破损载荷是一样的，他们考虑了轴力对屈服的影响。 2.3 两平板对压下的圆环
在两刚性干板时压下的圆环弹塑性圆环对径受压的极限载荷为
Pc?4M0R （2.16） 其中R为圆环的半径，M0是截面的塑性极限弯矩.对于理想刚塑性薄圆环在两刚性平板对压下的大变形，DeRuntz和Hodge[6]指出，其大变形机构是一个四铰机构，如图2.4(a) 、(b)所示。由此得出大变形下的载荷一位移关系为
PPc?1[1?(?R)2] （2.17）
其中?是两板相对位移之半.此式表明，在大变形过程中，环的承载能力将逐渐增加。实验测得的圆环大变形承载能力较上式为高。于是，从1978年起，Reid等人对强化效应对圆环承载能力的影响作了详尽的研究。他们指出，材料线性强化的结果不但使塑性极限弯矩提高，而且使图中的塑性铰扩展为塑性区。塑性区的大小取决于无量纲参数(EptYR)12，其中Y是材料的初始屈服应力， Ep是材料的线性强化模量，
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t是圆环壁厚。这一参数越大，圆环的承载能力增长越迅速。
两平板对压下的圆环的破坏需要有四个塑性铰，两个常见模式如图所示（Burton和Craig,1963;de Runtz和Hodge，1963）第一个模式有四个不动的塑性铰，较适合于软刚，因为它有上屈服点和下屈服点。第二个模式中圆环在移动接触点处被展平。这两个模式的未变形段的力作用图是相同的，因此得到相同的力-挠度曲线。初始破坏载荷与集中力作用下的情形相同[式2.4]。由平衡条件有
1PRcos??2Mp （2.18） 2
图2.3刚性平板对压下的圆环
由几何关系有
??2Rsin? （2.19） 联立式（2.18）和式（2.19），并注意到式式（2.4），有
P?P0 （2.20）
[1?(?D)2]12或者
2Yh2L P? （2.21） 212D[1?(?D)]其中，L是圆环的宽度或者圆管的长度。这说明了载荷随挠度的增加而增加（图2.3）。值得注意的是，至今为止对圆环所提出的分析，也同样适用于在类似载荷作用的圆管，只要屈服应力选取适当的值。于是，长度不超过其壁厚几倍的短圆管可以看做是圆环，式（2.18）中Y等于简单拉伸试验得到的屈服应力。
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