母题六 函数与方程
【母题原题1】【2017天津，理8】
[来源:Zxxk.Com]
?x2?x?3,x?1,x? 已知函数f(x)??设a?R，若关于x的不等式f(x)?|?a|在R上恒成立，则a的取22?x?x,x?1.?值范围是 （A）[?47,2] 16
（B）[?4739,] 1616[来源:学科网ZXXK] （C）[?23,2]
（D）[?23,39] 16【母题原题2】【2016天津，理10】
?x2?(4a?3)x?3a,x?0,已知函数f（x）=?（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程
?loga(x?1)?1,x?0|f(x)|?2?x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
（A）（0，
[来源学科网ZXXK][来源学科网Z.X.X.K]
[来源学科网] 【母题原题3】【2015天津，理8】
223123123] （B）[，] （C）[，]?{}（D）[，）?{}
333333444??2?x,x?2,已知函数f?x??? 函数g?x ，其中b?R，若函数??b??f2??x2???x?2?,x?2,y?f?x??g?x? 恰有4个零点，则b的取值范围是( )
（A）?[来源学*科*网]
7??7???7??7?,??? （B）???,? （C）?0,? （D）?,2?4??4???4??4?[来源:Zxxk.Com]
【母题原题4】【2014天津，理14】 已知函数
f(x)=x2+3x，x?R．若方程f(x)-ax-1=0恰有4个互异的实数根，则实数a的
取值范围为__________．
【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化思想和数形结合思想.
【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是找函数零点个数；一种是判断零点的范围．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，运用导数来研究函数零点，这是备考中应该注意的方面.
【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：
第一步：利用赋值法，明确函数性质 有效化简f(x＋2)＝f(x)－f(1)，须从求解f(1)入手，故采用赋值法令x＝－1，进而明确函数使周期为2的周期函数，再利用函数为偶函数，得到其图象关于直线x＝1对称；
第二步：借助函数性质，确定函数解析式 借助函数的周期性和对称性得到函数f(x)在[0，1]上的解析式，在根据已知，明确函数在一个周期之内[0，2]的函数解析式；
第三步：数形结合架起桥梁，求解范围 通过 y＝f(x)－loga(x＋1)转化为f(x)=loga(x＋1)，问题转化为两个函数y＝f(x)与y＝loga(x＋1)的图象交点问题，画出并分析两个函数图象的位置关系，保证至少三个交点得到不等关系，进而求解参数范围.
【方法总结】
1.判断函数零点个数的常见方法
(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；
[来源:Z,xx,k.Com]
(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数； (3)将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0?h(x)－g(x)＝0?h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象的交点个数；
[来源学科网]
(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断． 2.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
(1)解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上． (2)利用零点存在性定理进行判断；
(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 3.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
[来源学科网][来源学§科§网]
2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理
作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内.
缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关 （2）方程的根： 工具：方程的等价变形
作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数
[来源:Zxxk.Com]
缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个