合肥工业大学2011年大学生（非数学）高数竞赛模拟题及答案（一）
一、简答题：
1x?1. 求lim???，其中a?0,a?1. x????xa?1??分析：当a?1时，原式为?0型，当0?a?1时，原式为00型
1[ln(ax?1)?lnx?ln(a?1)]x?1a?1?x解：当a?1时，原式?limex???，
1ln(ax?1)axlna?limx?lna，lim[?lnx?ln(a?1)]?0 其中limx???xx???x???a?1x故 原式=elna?a.
1ax?1[ln?lnx]xa?1当0?a?1时 原式?limex????e0?1.
2．求不定积分
dx22，其中：. y(x?y)?x?y2解： 令：y?tx，
代入y(x?y)?x有：tx(1?t)x?x, 故有：x?22222113t?2，y?，dx?dt, 232t(1?t)t(1?t)t(1?t)所以，原式=
3t?23yydt?3t?2lnt?c??2ln?c. ?txxx?x2x3．设二阶线性微分方程y???ay??by?ce（a,b,c均为常数）有特解y?e(1?xe)，求此方程的通解.
解：由题设可知函数y1?e,y2?e均为该方程相应的齐次线性微分方程特解，y?xe为原方程的一个特解，故此方程的通解为y?C1e4. 设u??x?x?x?x?(C2?x)ex.
x2?y2?z2,求函数u在点M(1,1,1)处沿曲面2z?x2?y2在点M处的外法线方
向n的方向导数
?u?n?M
1
x2y2??,?z?解：?z?x?x,zy?y，
22?n??x,y,?1? 即为曲面的外法线方向，n?M1??11??1,1,?1?, n??,,??
3??33yx2?y2?z2M?0又
?u?x?Mxx2?y2?z2zx2?y2?z2?MM?1?u, 3?y1, 3?M?1, 3
?u?z?M???u?nM?1111111??????. 33333335. 设曲线?是平面x?y?z?1与球面x2?y2?z2?1的交线，试求积分解： 利用对称性，
因
???(x?y2)ds.
??xds???yds???zds,??yds???xds???zds
???????222于是积分为：
13222[(x?y?z)?(x?y?z)]ds?13????(1?1)ds ?
2 ?23??的长度?3?2??63?496?.
二、设当x?0时，方程kx?解：设f(x)?kx?1?1有且仅有一个解，求k的取值范围. x212??1,?f(x)?k?,x2x3f??(x)?6?0x4,
1）当k?0时，f?(x)?0,f(x)单减，又
x?0?limf(x)???,x???limf(x)???（其中k?0,x???limf(x)??1
?当k?0时，f(x)只有一个零点.
?2?23?f且f???????0,kk???2??k?3?k2??????1是?k??2???2313232）当k?0时，令f?(x)?0得唯一驻点x0?(0,??)内的极小值，也是最小值m,
1当m?0得k?○
323，此时方程有且仅有一个根; 923，此时方程无根; 92
2当m?0得k?○
○
3当m?0得k?293，方程恰有两个根. ?当k?0或k?293时，方程有且有一根. 三、求最小的实数C，对于连续函数f(x)，总有?10f(x)dx?C?10|f(x)|dx成立。
解：一方面，
?110f(x)dx?x?t?10f(t)2tdt?2?0|f(t)|dt,
另一方面令f1n(x)?(n?1)xn，则有：?0fn(x)dx?1,
而
?1x?t12(n?1)0fn(x)dx?2?tfn(t)dt?2?1(n?1)tn?100dt?n?2?2(n??),
从而最小实数C?2. 四、设??z?ux?y?(u)??(u),???(u),其中函数z?z(x,y)具有二阶连续偏导数，证明：
?0?x?y??(u)?2z?22?x2?z??2z??y2??????x?y???0. 证明: ??z?ux?y?(u)??(u),(1)0?x?y??(u)???(u),(2)，两边对x求导得
????z?u?x?u?y??(u)?u???(u)?u?u?(x?y??(u)???(u))?u??x?x?x?x?x??0?1?y???(u)?u?u
?x????(u)?x?z?2结合方程（2）得?x,?z?u?2?uz?u?x2??x,?x?y??y, 又?u1?2?x??y???(u)????(u),?z1?x2??y???(u)????(u).
同理，原方程组两边对y求导得
???z??x?u??(u)?y??(u)?u???(u)?u??(u)?(x?y??(??u??y?y?y?yu)??(u))?y ???0???(u)?y???(u)?u?y????(u)?u?y??z?y??(u), ?u??(u)?y??y???(u)????(u), ?2z?y2???(u)?u[??(u)]2?y??y???(u)????(u), ?2z?u?x?y??y????(u)y???(u)????(u),
3
?2z?2z??2z???0. 故2?2????x?y??x?y??五、设球?1:x2?y2?z2?R2和球?2:x2?y2?z2?2Rz(R?0)的公共部分体积为?1的表面位于?2内的部分S1的面积.
25?时，求12解：记???1??2?(x,y,z)R?R2?x2?y2?z?R2?x2?y2,(x,y)?Dxy, 3??其中Dxy???x,y?x2?y2?R2?是?在xoY平面上的投影,
4??????的体积
V????dv???d???DxyR2?x2?y2R?R?x?y222dz???2R2?x2?y2?RdxdyDxy?? 5?3R12??d??02?3R20?2R2?r2?Rrdr??由题设R?1. 由此得S1的面积
A???1?zx?zyd????DxyDxy22dxdy1?x?y22??d??02?3R2r1?r20dr??.
六、设函数y1(x)?(?1)n?11(n??x?(n?1)?),n?0,1,2,?,y2(x)是方程23(n?1)1y???2y??y?e?xsinx满足条件y(0)?0,y?(0)??的特解，求广义积分
3???0min{y1(x),y2(x)}dx.
2?1)x解：方程y???2y??y?0的通解为y(x)?C1e(?C2e?(2?1)x，方程
y???2y??y?e?xsinx的特解可设为y?(x)?e?x(Asinx?Bcosx)代人原方程可解得
1A??,B?0，所以方程y???2y??y?e?xsinx的通解为
31y(x)?C1e(2?1)x?C2e?(2?1)x?e?xsinx，由初始条件可得C1?C2?0，
31?x?x2所以y2(x)??esinx，考察函数f(x)?e?(x?1)(x?0)，则f(0)?0，
3
4
当x?0时,f?(x)??e?x?2(x?1)?0,故函数f(x)在[0,??)上是单增的，因而当
x?[0,??)时有
11，所以当n??x?(n?1)?时有 ?3e?x3(x?1)2y2(x)?111???y1(x), x2x3e3(?1)23(n?1)?所以当n?0,2,4,?,时min{y1(x),y2(x)}?y1(x)， 当n?1,3,5,?,时min{y1(x),y2(x)}?y2(x)，由此可得
???0min{y1(x),y2(x)}dx???k?0?(2k?1)?2k?y1(x)dx???k?0?(2k?2)?(2k?1)?y2(x)dx
?11?(2k?2)??x1?2， ??????esinxdx，而??22(2k?1)?3k?0(2k?1)3k?08k?0(2k?1)????k?0?(2k?2)?(2k?1)?1??(2k?1)???1，所以 esinxdx???e(e?1)?2k?02(e??1)?x???0min{y1(x),y2(x)}dx???324?16(e?1)?.
七、设A???x2zdydz?y2zdzdx?xz2dxdy，其中S是曲面az?x2?y2(0?z?a)的第一卦限部
S分上侧，求满足f(0)?A,f?(0)??A的二阶可导函数 f(x)，使得yf(x)?3e2xdx?f?(x)dy是某个二元函数的全微分. 解:
??A???x2zdydz?y2zdzdx?xz2dxdyS?S?S1?S2?S3????????????S1S2S3
其中，S1,S2分别是S在平面y?0与平面x?0上的投影，方向分别为右侧与前侧，S3是S在平面z?a上的投影，方向为下侧，
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