第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考解答 全卷共七题，总分为140分.
一、（20分）某甲设计了1个如图复19-1所示的“自动喷泉”装置，其中A、B、C为3个容器，D、E、F为3根细管，管栓K是关闭的．A、B、C及细管D、E中均盛有水，容器水面的高度差分别为h1和h1如图所示．A、B、C的截面半径为12cm，D的半径为0.2cm．甲向同伴乙说：“我若拧开管栓K，会有水从细管口喷出．”乙认为不可能．理由是：“低处的水自动走向高外，能量从哪儿来？”甲当即拧开K，果然见到有水喷出，乙哑口无言，但不明白自己的错误所在．甲又进一步演示．在拧开管栓K前，先将喷管D的上端加长到足够长，然后拧开K，管中水面即上升，最后水面静止于某个高度处． (1)．论证拧开K后水柱上升的原因．
(2)．当D管上端足够长时，求拧开K后D中静止水面与A中水面的高度差． (3)．论证水柱上升所需能量的来源．
二、 (18 分) 在图复19-2中，半径为R的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面指向纸外，磁感应强度B随时间均匀变化，变化率?B/?t?K(K为一正值常量),圆柱形区外空间没有磁场，沿图中AC弦的方向画一直线，并向外延长，弦AC与半径OA的夹角
???/4．直线上有一任意点，设该点与A点的距离为x，
求从A沿直线到该点的电动势的大小．
三、（18分）如图复19-3所示，在水平光滑绝缘的桌面上，有三个带正电的质点1、2、3，位于边长为l的等边三角形的三个顶点处。C为三角形的中心，三个质点的质量皆为m，带电量皆为q。质点 1、3之间和2、3之间用绝缘的轻而细的刚性杆相连，在3的连接处为无摩擦的铰链。已知开始时三个质点的速度为零，在此后运动过程中，当质点3运动到C处时，其速度大小为多少？
四、（18分）有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数．在图复19-4-1中，E为电压可调的直流电源。K为开关，L为待测线圈的自感系数，rL为线圈的直流电阻，D为理想二极管，r为用电阻丝做成的电阻器的电阻，A为电流表。将图复19-4-1中a、b之间的电阻线装进图复19-4-2所示的试管1内，图复19-4-2中其它装置见图下说明．其中注射器筒5和试管1组成的密闭容器内装有某种气体（可视为理想气体），通过活塞6的上下移动可调节毛细管8中有色液注的初始位置，调节后将阀门10关闭，使两边气体隔开．毛细管8的内直径为d．
已知在压强不变的条件下，试管中的气体温度升高1K时，需要吸收的热量为Cq，大气压强为p。设试管、三通管、注射器和毛细管皆为绝热的，电阻丝的热容不计．当接通电键K后，线圈
L中将产生磁场，已知线圈中储存的磁场能量W?12LI，
2I为通过线圈的电流，其值可通过电流表A测量，现利用此装置及合理的步骤测量的自感系数L．
1．简要写出此实验的步骤．
2．用题中所给出的各已知量（r、rL、Cq、p、d等）及直接测得的量导出L的表达式，
五、（20分）薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为n1和n2，则透镜两侧各有一个焦点（设为F1和F2），但F1、F2和透镜中心的距离不相等，其值分别为f1和f2。现有一个薄凸透镜L，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图复19-5所示。
1．试求出此时物距u，像距v，焦距f1、f2四者之间的关系式。
2．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为?1，则与之相应的出射线与主轴的夹角?2多大？
3．f1，f2，n1，n2四者之间有何关系？
六、（20分）在相对于实验室静止的平面直角坐标系S中，有一个光子，沿x轴正方向射向一个静止于坐标原点O的电子．在y轴方向探测到一个散射光子．已知电子的静止质量为m0，光速为c,入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的1／10．
1．试求电子运动速度的大小v,电子运动的方向与x轴的夹角?；电子运动到离原点距离为L0（作为已知量）的A点所经历的时间?t．
2．在电子以1中的速度v开始运动时，一观察者S?相对于坐标系S也以速度v沿S中电子运动的方向运动(即S?相对于电子静止)，试求S?测出的OA的长度．
七、（26分）一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计），细杆与A在同一竖直平面内．开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图复19-7-1所示，已知，绳长为l，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大张力为Td，珠子下滑过程中到达
最低点前绳子被拉断，求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子之间无摩擦）
注：质点在平面内做曲线运动时，它在任一点的加速度
沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度an，可以证明，
an?v/R，v为质点在该点时速度的大小，R为轨道曲线在该点的“曲率半径”，所谓平面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把它看做是某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径．如图复19-7-2中曲线在A点的曲率半径为RA，在B点的曲率半径为RB．
2
第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答 一、参考解答
实践证明，甲的设计是正确的，所以乙的结论肯定是错的。
（1）设大气压为p0，水的密度为?。拧开K前的情况如图复解19-l的（a）图所示。由流
体静力学可知，B、C中气体的压强为
pB?pC?p0??g(h1?h2)（1）D中气体的压强为 pD?pB??gh1 （2）由（1）、（2）两式可得 pD?p0??gh2
K D A E B F
H hA B
K
h
即pD?p0，当拧开K后，D中气体压强降至p0，此时
C C
(b)
复
解
pB?p0??gh1 （3） (a即D管中容器B水面以上的那一段水柱所受合力向上，所以D管中水柱上升。
图
（2）拧开K后，水柱上升，因D管上端已足够长，故水不会从管口喷出．设到D中的水面静止时D中增加水量的体积为?V，则B中减少水量的体积亦为?V，其水面将略有降低，因而B及C中气体压强路有下降，A中的水将通过E管流入C中，当从A流入水量的体积等于?V时，B、C中气体压强恢复原值。因为A、B、C的半径为D管半径的60倍，截面积比为3600倍，故A、B、C中少量水的增减（??V）引起的A、B、C中水面高度的变化可忽略不计，即h1和h2的数值保持不变。
设D中水面静止时与A中水面的高度差为H，（见图复解19-1（b）），则有
p0??g(h1?h2)?p0??g(H?h1) （4）由此可得 H?h2 （5）
（3）将图复解 19-l（a）和(b)两图相比较可知，其差别在于体积为?V的水从A移至C中，另?V的水又由B移入D中，前者重力势能减少，而后者重力势能增大，前者的重力势能减少量为
?E1??g?V(h1?h2) （6）
D中增加的水柱的重心离A中水面的高度为h2/2，故后者的重力势能增量为
?E2??g?V(h1?12h2) （7） 即?E1??E2。
由此可知，体积为?V的水由A流入C中减少的势能的一部分转化为同体积的水由B进入D中所需的势能，其余部分则转化为水柱的动能，故发生上下振动，D中水面静止处为平衡点．由于水与管间有摩擦等原因，动能逐步消耗，最后水面停留在距A中水面h2处。 二、参考解答
由于圆柱形区域内存在变化磁场，在圆柱形区域内外空间中将产生涡旋电场，电场线为圆，圆心在圆柱轴线上，圆面与轴线垂直，如图中虚点线所示．在这样的电场中，沿任意半径方向移动电荷时，由于电场力与移动方向垂直，涡旋电场力做功为零，因此沿半径方向任意一段路径上的电动势均为零．
1．任意点在磁场区域内：令P为任意点（见图复解19-2-1）x?2R，在图中连直线OA与OP。
取闭合回路APOA，可得回路电动势E1?EAP?EPO?EOA，式中EAP，EPO，EOA分别为从A到 P、从P到O、从O到A的电动势。由前面的分析可知EPO?0，EOA?0，故EAP?E1 （1）
令?AOP的面积为S1，此面积上磁通量?1?BS1，由电磁感应定律，回路的电动势大小为
E1???1?t?S1?B?t 根据题给的条件有E1?S1k （2）
12xRsin??xR22由图复解19-2-2可知S1? （3）
kR22x （4）
由（1）、（2）、（3）式可得沿AP线段的电动势大小为EAP?
2．任意点在磁场区域 外：令Q为任意点（见图复解19-2-2），
A ? x C
P R O
A
? R
? O
C
? ?
Q
D
x?2R。在图中连
图复解 19-2－
图复解 19-2－
OA、OQ。取闭合回
路AQOA，设回路中电动势为E2，根据类似上面的讨论有EAQ?E2 （5）
对于回路AQOA，回路中磁通量等于回路所包围的磁场区的面积的磁通量，此面积为S2，通过它的磁通量?2?BS2。根据电磁感应定律可知回路中电动势的大小E2?S2k （6）
在图中连OC，令?COQ??，则?OQC????，于是
S2??AOC的面积?扇形OCD的面积?(?12Rsin?)?2Rcos??2?2??R2
12R(sin2???)当???/4时，S2?12RR(1??)， ?OCQ中有
Rsin??(x?
2
x?2R2R)sin(2R)12?4??)
sin??sin[(?/4)??]?(x?(cos??sin?) (R?x?2R212)sin??x?2R2x?cos? tan??x?x2R
于是得S2?R(1?arctan22Rx) （7）